العلاقة بين الدالة الأسية والدالة اللوغارتمية
تعتبر كل من الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية أدوات رياضية هامة تتواجد في العديد من التطبيقات العملية في حياتنا اليومية، مثل تحليل النمو السكاني وتقييم الاستثمارات والتغييرات التي تطرأ عليها بمرور الزمن، بالإضافة إلى مجموعة من التطبيقات الأخرى. تجدر الإشارة إلى أن العلاقة الرياضية التي تربط بين هاتين الدالتين هي علاقة عكسية. يمكن فهم هذه العلاقة بشكل رياضي على النحو التالي:
الدالة الأسية
تعرف الدالة الأسية بأنها دالة رياضية يكون المتغير فيها هو الأس أو القوة. يتم التعبير عنها في الصيغة العامة كما يلي:
f( x ) = b^( x )
حيث أن:
- x: يمثل متغيرًا.
- b: يمثل الأساس في الدالة الأسية، وهو عدد حقيقي يجب أن يكون b > 0 وألا يساوي (1). إذا كان b > 1، فإن ذلك يعني أن هناك تزايدًا في المعادلة، أما إذا كان بين (0) و (1) فهذا يدل على وجود تناقص. ومن بين الأساسات المعروفة هو العدد e.
الدالة اللوغارتمية
تعتبر الدالة اللوغارتمية دالة عكسية لعملية الأس، ويتم كتابتها في الصيغة العامة كما يلي:
f( x ) = logb ( x )
حيث أن:
- x: يمثل متغيرًا.
- b: هو الأساس في الدالة اللوغارتمية، ويجب أن يكون عددًا حقيقيًا حيث b > 0 ولا يساوي (1). إذا كان b > 1، فهذا يشير إلى تزايد في المعادلة، بينما إذا كان بين (0) و (1) فهو يدل على تناقص. من أشهر الأساسات هنا هما (10) و (e).
التعبير عن العلاقة بين الدالة الأسية واللوغارتمية
عند دراسة المعادلتين، نلاحظ العلاقة بينهما؛ فإذا كانت المعادلة الأسية تعبر عن a = b ^ (c)، فإن المعادلة اللوغارتمية المرتبطة بها هي c = logb (a). وفي حالة خاصة عندما يكون الأساس b = e، يمكن التعبير عن المعادلة اللوغارتمية باستخدام (ln)، بحيث تكون c = lnb (a). لنوضح هذه العلاقة العكسية من خلال المثال التالي:
مثال: إذا كان الأساس b = 2، فإن الدالة الأسية تصبح a = 2^ (c) بينما الدالة اللوغارتمية تكون c = log2 (a). دعنا نستوضح العلاقة بينهما.
الحل:
- إذا عوضنا c = 3، فإن الدالة الأسية تعطي:
- a = 2^3
- a = 8
- وفي الدالة اللوغارتمية، يمكننا تعويض الناتج a = 8 في المعادلة:
- c = log2 (8)
- نلاحظ أن c = 3؛ مما يدل على أن الناتج في المعادلة الأسية يساوي المتغير في العلاقة اللوغارتمية، وبالتالي يظهر بشكل واضح العلاقة العكسية بينهما.
