المفاهيم الأساسية للدوال المثلثية وعلاقتها بالهندسة

الدوال المثلثية

تعتبر الدوال المثلثية محورا رئيسياً في علم المثلثات، وهو فرع من فروع الرياضيات الذي يركز على دراسة الزوايا وتطبيقاتها. يشمل علم المثلثات ست دوال رئيسية هي: الجيب (Sin)، وجيب التمام (Cos)، والظل (Tan)، وظل التمام (Cot)، والقاطع (Sec)، وقاطع التمام (Csc). تم اشتقاق هذه الدوال بناءً على المثلث القائم الزاوية، وقد ساهمت في تطوير علم المثلثات لتلبية الاحتياجات الخاصة بحساب الزوايا والمسافات في مجموعة متنوعة من المجالات العلمية، بما في ذلك علم الفلك، ورسم الخرائط، والمسح، ودراسة المدفعية.

الصيغ الأساسية للدوال المثلثية

توجد ست دوال مثلثية أساسية تُستخدم في هذا العلم، وهي: الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام. تمثل هذه الدوال النسب بين أضلاع مثلث قائم الزاوية، حيث تعود إلى الضلع العمودي، الوتر، والقاعدة. يمكن حساب قيم هذه الدوال استناداً إلى أبعاد المثلث القائم وفقاً للصيغ التالية:

جيب الزاوية (sin θ): يُحسب من خلال قسمة قيمة الضلع المقابل للزاوية على قيمة الوتر (sin θ = Perpendicular/Hypotenuse)
جيب التمام للزاوية (cos θ): يُحسب من قسمة قيمة الضلع المجاور للزاوية على قيمة الوتر (cos θ = Base/Hypotenuse)
ظل الزاوية (tan θ): يُمكن حسابه من خلال قسمة قيمة الضلع المقابل للزاوية على قيمة الضلع المجاور (tan θ = Perpendicular/Base)
قاطع الزاوية (sec θ): يُحسب من خلال قسمة قيمة الوتر على قيمة الضلع المجاور (sec θ = Hypotenuse/Base)
قاطع تمام الزاوية (cosec θ): يُحسب بقسمة الوتر على قيمة الضلع المقابل (cosec θ = Hypotenuse/Perpendicular)
ظل تمام الزاوية (cot θ): يُصاغ من خلال قسمة قيمة الضلع المجاور على قيمة الضلع المقابل (cot θ = Base/Perpendicular)

قيم الدوال المثلثية للزوايا الرئيسية

تمثل الاقترانات الجيب، وجيب التمام، والظل، القيم الأساسية في علم المثلثات، ويمكن اشتقاق الدوال الأخرى منها، وغالباً ما تُستخدم هذه الدوال المشتقة لمقارنة الخصائص مع الوظائف المثلثية الأولية. القيم الخاصة بالدوال المثلثية للزوايا الشهيرة (°90، °60، °45، °30، °0) هي كما يلي:

النسب المثلثية (Trigonometric Ratios)	0 °	30 °	45 °	60 °	90 °
جيب الزاوية (Sin θ)	0	1/2	1/√2	√3/2	1
جيب تمام الزاوية (Cos θ)	1	√3/2	1/√2	1/2	0
ظل الزاوية (Tan θ)	0	1/√3	1	√3	∞
قاطع تمام الزاوية (Cosec θ)	∞	2	√2	2/√3	1
قاطع الزاوية (Sec θ)	1	2/√3	√2	2	∞
ظل تمام الزاوية (Cot θ)	∞	√3	1	1/√3	0

المجال والمدى للرسوم البيانية للدوال المثلثية

لإنشاء رسم بياني صحيح للدوال المثلثية، ينبغي معرفة قيم المجال والمدى لكل دالة. وهذه القيم التي تُرسم في المستوى XY هي:

الدالة (Function)	تعريف الدالة (Definition)	المجال (Domain)	المدى (Range)
اقتران جيب (Sine Function)	y=sin x	x ∈ R	− 1 ≤ sin x ≤ 1
اقتران جيب التمام (Cosine Function)	y = cos x	x ∈ R	− 1 ≤ cos x ≤ 1
اقتران الظل (Tangent Function)	y = tan x	x ∈ R , x≠(2k+1)π/2	− ∞
اقتران ظل التمام (Cotangent Function)	y = cot x	x ∈ R , x ≠ k π	− ∞
اقتران القاطع (Secant Function)	y = sec x	x ∈ R , x ≠ (2 k + 1) π / 2	sec x ∈ (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞)
اقتران قاطع التمام (Cosecant Function)	y = csc x	x ∈ R , x ≠ k π	csc x ∈ (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞)

المتطابقات المثلثية

فيما يلي أبرز المتطابقات المرتبطة بدوال حساب المثلثات:

المتطابقات الزوجية والفردية

يُعتبر كل من الدالتين جيب التمام (cos) وقاطع الزاوية (sec) دالتين زوجيتين، بينما باقي الدوال المثلثية تُصنف كدوال فردية. وهذا يتمثل في القيم التالية:

sin(-x) = -sin x
cos(-x) = cos x
tan(-x) = – tan x
cot(-x) = -cot x
csc(-x) = -csc x
sec(-x) = sec x

متطابقات فيثاغورس

يمكن التعبير عن نظرية فيثاغورس باستخدام الدوال المثلثية وفقاً للمتطابقات التالية:

sin² x + cos² x = 1
1 + tan² x = sec² x
cosec² x = 1 + cot² x

الاقترانات الدورية

تُعتبر الدوال المثلثية اقترانات دورية، حيث إن أقصر دورة دورية تساوي 2π، بينما للظل وظل التمام، تكون الفترة π. وتتمثل الاقترانات الدورية كما يلي:

sin(x+2nπ) = sin x
cos(x+2nπ) = cos x
tan(x+nπ) = tan x
cot(x+nπ) = cot x
csc(x+2nπ) = csc x
sec(x+2nπ) = sec x

حيث إن n يمثل أي عدد صحيح.

متطابقات المجموع والفرق

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
sin(x–y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cosx.cosy – sinx.siny
cos(x–y) = cosx.cosy + sinx.siny
tan(x+y) = [tan(x)+tan(y)]/[1-tan(x)tan(y)]
tan(x-y) = [tan(x)-tan(y)]/[1+tan(x)tan(y)]