فهم العلاقة بين الضرب والقسمة من خلال أمثلة عملية

الاتصال بين القسمة والضرب

تعتبر عملية الضرب تعددًا لجمع العناصر، بينما تعتبر القسمة طرحًا متكررًا. وبالتالي، تُعتبر العلاقة بين الضرب والقسمة علاقة عكسية؛ حيث تُعتبر القسمة عكساً لعملية الضرب. يتجلى ذلك من خلال النقاط التالية:

• تُنفذ عملية الضرب عن طريق ضرب عاملين للوصول إلى الناتج.
• تتم عملية القسمة عبر قسمة الناتج على أحد العاملين للحصول على العامل الآخر كناتج للقسمة.
• على سبيل المثال، إذا قمنا بضرب العددين 4 و5، فإننا نحصل على:
• 20 = 4 × 5.
• العوامل في هذه العملية هي 4 و5، بينما الناتج هو 20.
• عند قسمة الناتج 20 على أحد العاملين، مثل 5 أو 4، سنتمكن من الحصول على العامل الآخر.
• إذا قسّمنا الناتج 20 على 4، سنحصل على 5 كناتج للقسمة: 5 = 20 ÷ 4.
• وإذا قسّمنا الناتج 20 على 5، سنحصل على 4 كناتج للقسمة: 4 = 20 ÷ 5.

بفضل العلاقة الوثيقة بين القسمة والضرب، يمكن استخدام عملية الضرب للتحقق من ناتج القسمة، عن طريق ضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه للحصول على المقسوم. فإذا كانت نتيجة هذا الضرب تعادل المقسوم، فإن ناتج عملية القسمة صحيح.

عمليتا القسمة والضرب تعتبران عمليتين عكسيّتين؛ حيث يتمثل الضرب في ضرب عاملين للحصول على الناتج، وعند عكس المعادلة نحصل على عملية القسمة التي تتعلق بقسمة الناتج على أحد العاملين للحصول على الآخر. هذه العلاقة تتيح لنا التحقق من ناتج القسمة بيسر.

كيفية كتابة جُمل الضرب والقسمة المترابطة

تتكون جمل الضرب والقسمة من جزئين؛ الجزء الأول هو التعبير الرياضي أو الصيغة التي تسبق علامة المساواة، والجزء الثاني هو الناتج الذي يأتي بعد علامة المساواة. تتضمن الصيغة الرياضية العوامل وإشارة الضرب أو القسمة. وأسهل طريقة لفهم كيفية كتابة هذه الجمل هي من خلال استخدام المصفوفات، التي تتكون من مجموعات مرتبة في أعمدة أو صفوف. إليك خطوات كتابة جمل الضرب والقسمة المترابطة باستخدام المصفوفة:

المصفوفة: |||| |||| ||||

• يمكنك كتابة جملة الضرب وجملة القسمة من نفس المصفوفة.
• لاحظ أن هناك 3 مجموعات من الأعواد، كل مجموعة تحتوي على 4 أعواد، مما يعطينا 12 عودًا، فتكتب جملة الضرب: 12 = 4 × 3.
• يمكنك قراءة المصفوفة بأشكال مختلفة لكتابة جملة القسمة كالتالي:
• هناك 12 عودًا مقسمة إلى مجموعات، كل مجموعة تحتوي على 4 أعواد، مما يتيح لنا الحصول على 3 مجموعات، وبالتالي تكتب جملة القسمة: 3 = 12 ÷ 4.
• لاحظ أننا استخدمنا نفس الأرقام الثلاثة لكتابة جملتي القسمة والضرب، مما يوضح العلاقة المترابطة بينهما. وبما أن القسمة تعتبر عكسًا للضرب، يمكننا كتابة جملة الضرب الجاهزة من المصفوفة ثم نكتب جملة القسمة بعكسها.
• عند كتابة جملة الضرب الناتجة من المصفوفة: 12 = 4 × 3.
• جمل القسمة الناتجة عن العلاقة العكسية لجملة الضرب هي: 3 = 12 ÷ 4، أو 4 = 12 ÷ 3.

تتكون جمل الضرب والقسمة من صيغة معادلة وجزء ناتج يأتي بعد علامة المساواة. بفضل العلاقة المترابطة بين الضرب والقسمة، يمكن كتابة الجملتين باستخدام نفس المصفوفة، ولأن القسمة تعكس الضرب، يمكن كتابة جملة الضرب ببساطة، تليها جملة القسمة كعكس للجملة الأصلية.

أمثلة على كتابة جُمل الضرب والقسمة المترابطة

لدي ريما 18 عودًا، وترغب في ربط كل 3 أعواد معًا. كم عدد المجموعات التي ستحصل عليها؟

• اكتب جملة القسمة من المسألة: ? = 18 ÷ 3.
• قم بتمثيل المسألة باستخدام المصفوفة:
• ||| ||| ||| ||| ||| |||
• هناك 6 مجموعات من الأعواد، حيث تحتوي كل مجموعة على 3 أعواد، وبالتالي نكتب جملة الضرب: 18 = 3 × 6.
• جمل القسمة الناتجة عن العلاقة العكسية ستكون:
• الحل: 6 = 18 ÷ 3.
• إذًا، عدد المجموعات التي ستحصل عليها ريما هو: 6 مجموعات.

هناك 25 شخصًا ذاهبون إلى الحديقة ويرغبون في ركوب سيارة الألعاب، حيث تُسع كل سيارة 5 أشخاص. كم عدد السيارات التي يحتاجونها؟

• اكتب جملة القسمة من المسألة: ? = 25 ÷ 5.
• قم بتمثيل المسألة باستخدام المصفوفة:
• ||||| ||||| ||||| ||||| |||||
• لاحظ أنه لدينا 5 سيارات، وكل سيارة تتسع لـ 5 أشخاص، لذا نكتب جملة الضرب: 25 = 5 × 5.
• جمل القسمة الناتجة عن العلاقة العكسية لجملة الضرب هي:
• الحل: 5 = 25 ÷ 5.
• لذا، عدد السيارات المطلوبة هو: 5 سيارات.

يرغب المدير في توزيع 9 دفاتر على موظفي مكتبه، حيث يحتوي مكتبه على 3 موظفين، كم عدد الدفاتر التي سيحصل عليها كل موظف؟

• اكتب جملة القسمة من المسألة: ? = 9 ÷ 3.
• قم بتمثيل المسألة باستخدام المصفوفة:
• ||| ||| |||
• لاحظ أن هناك 3 موظفين، يحصل كل موظف على 3 دفاتر، لذا نكتب جملة الضرب: 9 = 3 × 3.
• جمل القسمة الناتجة عن العلاقة العكسية لجملة الضرب هي:
• الحل: 3 = 9 ÷ 3.
• إذًا، عدد الدفاتر التي سيحصل عليها كل موظف هو: 3 دفاتر.

يرغب محمد في توزيع 10 تفاحات على الأطباق، حيث يتسع كل طبق لتفاحتين. كم عدد الأطباق التي سيحتاجها محمد؟

• اكتب جملة القسمة من المسألة: ? = 10 ÷ 2.
• قم بتمثيل المسألة باستخدام المصفوفة:
• || || || || ||
• لاحظ أنه لدينا 5 أطباق، يحتوي كل طبق على تفاحتين، وبالتالي نكتب جملة الضرب: 10 = 2 × 5.
• جمل القسمة الناتجة عن العلاقة العكسية لجملة الضرب هي:
• الحل: 5 = 10 ÷ 2.
• لذا، عدد الأطباق التي يحتاجها محمد هو: 5 أطباق.

لتلخيص الأمر، تتمثل العلاقة بين عمليات القسمة والضرب في كونها علاقة عكسية؛ حيث يمكن إيجاد أحد عوامل الضرب من خلال قسمة الناتج على العامل الآخر. تتكون كلا من جملتي القسمة والضرب من جزئين يجمع بينهما علامة المساواة: الجزء الأول هو الصيغة الرياضية والجزء الثاني هو الناتج، ويمكن كتابتهما باستخدام نفس المصفوفة بفضل العلاقة المتشابكة بين الضرب والقسمة.