القانون العام والمميز في حل المعادلات التربيعية
يعد القانون العام والمميز أداة أساسية لحل المعادلات التربيعية، وهي المعادلات من الدرجة الثانية. وتعبر الصيغة التربيعية عن حلول هذه المعادلة بالقيمة س:
القانون العام
يستعمل القانون العام لاستخراج حلول المعادلة أو الجذور أو القيم الخاصة بس، وذلك باستخدام المعادلة التربيعية التالية:
أ س² + ب س + جـ = 0
وبالتالي، يمكن تقديم الحل كما يلي:
س = [ – ب ± ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ
حيث تمثل الرموز التالية:
- س: جذور المعادلة
- أ: معامل س²
- ب: معامل س
- جـ: الحد الثابت
المميز
يستعمل المميز للإشارة إلى عدد الحلول الممكنة للمعادلة التربيعية عن طريق حساب قيمته كالتالي:
المميز = ( ب² – 4 أ جـ) √
حيث القيم الرمزية تشير إلى:
- أ: معامل س²
- ب: معامل س
- جـ: الحد الثابت
بعد احتساب قيمة المميز، يتم تطبيق المعايير التالية:
- إذا كان المميز > 0، فهذا يعني أن المعادلة تمتلك جذرين، ويمكن إيجاد قيمتي س باستخدام القانون العام.
- إذا كان المميز = 0، ستحتوي المعادلة على جذر وحيد، ويمكن أيضاً إيجاد قيمتها من خلال القانون العام.
فوائد استخدام القانون العام والمميز في حل المعادلات التربيعية
تتميز الطريقة المعتمدة على القانون العام والمميز بسهولة التطبيق، حيث يمكن تنفيذها مباشرةً عبر إدخال قيم معامل س² ومعامل س والحد الثابت في المعادلة. بالإضافة إلى ذلك، فإن هذه الطريقة مُلائمة لكل المعادلات التربيعية مهما كانت تفاصيلها وأشكال حدودها.
أمثلة على تطبيق القانون العام والمميز في حل المعادلات التربيعية
إليكم مثالاً يوضح استخدام القانون العام لحل المعادلة التالية:
4 س² – 24 س + 35 = 0
إجراء الحل كما يلي:
- نبدأ باستخدام المميز للتأكد من عدد جذور المعادلة الموجودة:
- ( ب² – 4 أ جـ ) √ = ( 24² – 4 × 4 × 35 ) √ = ( 576 – 560 ) √ = 16 √ = 4 > 0، مما يعني أن المعادلة تمتلك جذرين ويمكن حساب قيمتي س بواسطة القانون العام.
- لتطبيق القانون العام على المعادلة:
- س = [ – ب ± ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ
- س = [ – -24 ± ( – 24² – 4 × 4 × 35 ) √ ] / 2 × 4
- س = [ 24 ± 4 ] / 8
- س = [ 24 + 4 ] / 8 ، [ 24 – 4 ] / 8
- س = 28 / 8 ، 20 / 8
- س = 14 / 4 ، 10 / 4
- س = 7 / 2 ، 5 / 2
