الفرق بين التباين والانحراف المعياري والخطأ المعياري في الإحصاء

التباين

التباين (بالإنجليزية: Variance) هو مقياس احصائي يعبر عن مدى تشتت مجموعة من البيانات حول المتوسط الحسابي. يُعتبر التباين مربع الانحراف المعياري، ويُستخدم في تحليل تأثير العوامل المختلفة على توزيع البيانات. بعبارات مبسطة، يُظهر التباين مدى تباعد القيم في المجموعة عن المتوسط الحسابي. يمكن حساب التباين من خلال الخطوات التالية:

1. يتم طرح المتوسط الحسابي من كل قيمة في المجموعة، مما يوفر معلومات عن بعد كل نقطة عن المتوسط.
2. تُربَّع النتائج، مما يحول جميع القيم إلى أعداد موجبة، ثم تُجمع تلك القيم المربعة.
3. يُقسم مجموع المربعات على عدد القيم، ليُحصل على التباين.

مثال: حساب التباين لمجموعة القيم التالية (2، 7، 3، 12، 9).

الحل:

1. أولاً، نحسب المتوسط الحسابي عن طريق جمع القيم (33) وقسمتها على عددها (5)، والناتج هو (6.6).
2. بعد ذلك، يتم طرح المتوسط من كل قيمة على حدة مثل (4.6-، 0.4، 3.6-، 5.4، 2.4).
3. ثم، تُربَّع كل القيم الناتجة: (21.16، 0.16، 12.96، 29.16، 5.76).
4. تُجمع القيم المربعة ليكون الناتج (69.20).
5. أخيرًا، يُقسم الناتج (69.20) على عدد القيم (5) ليكون التباين (13.84).

الانحراف المعياري

الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Standard Deviation) هو مقياس آخر يوضح مدى تشتت البيانات بالنسبة للمتوسط الحسابي. يُشير الانحراف المعياري المنخفض إلى تجمع القيم حول المتوسط، بينما يعكس الانحراف المعياري المرتفع انتشار القيم بعيدًا عن المتوسط. يُمكن حساب الانحراف المعياري من خلال الخطوات التالية:

• أولاً، نحسب المتوسط الحسابي للقيم.
• ثم نطرح كل قيمة من هذا المتوسط.
• بعد ذلك، تُربَّع كل النتائج الناتجة عن عملية الطرح.
• يتم حساب المتوسط لمربعات القيم بجمعها ثم قسمتها على عددها.
• وأخيرًا، يُحسب الجذر التربيعي للمتوسط الجديد ليكون هو الانحراف المعياري.
• ملاحظة: الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

مثال: حساب الانحراف المعياري للقيم (6، 2، 3، 1).

الحل:

• نبدأ بحساب المتوسط الحسابي بجمع القيم (12) ثم قسمتها على عدد القيم (4) ليكون الناتج (3).
• نطرح كل قيمة من المتوسط لنحصل على (3، 1-، 0، 2-).
• ثم نُربيع القيم المتبقية: (9، 1، 0، 4).
• نجمع القيم المربعة (14) ثم نقسمها على عددها (4) لنعثر على المتوسط (3.5).
• نتيجة ذلك نأخذ الجذر التربيعي للحصول على الانحراف المعياري، والذي يكون (1.87).

الخطأ المعياري

الخطأ المعياري (بالإنجليزية: Standard Error) يشير إلى مدى تغاير بيانات العينة بالنسبة للمتوسط الحسابي للعدد الكلي. يُستخدم الخطأ المعياري لتحديد مدى الاختلاف في المتوسط الحسابي عند إعادة التجربة باستخدام عينات مختلفة من نفس المجموعة. عادةً ما يتم حساب الخطأ المعياري للمتوسط، ولكنه يمكن أن يُحسب أيضًا للوسيط (بالإنجليزية: Medians).

حجم العينة يلعب دوراً هاماً في حساب الخطأ المعياري، حيث كلما زاد حجم العينة، انخفضت قيمة الخطأ المعياري مما يُعطي نتائج أكثر دقة. يُظهِر الخطأ المعياري بجانب المتوسط إما كرقم أو كنسبة.

للحصول على الخطأ المعياري، يتم حساب الانحراف المعياري كما ذُكر سابقًا، ثم يُقسَم الناتج على الجذر التربيعي لحجم العينة المستخدمة.

مثال: حساب الخطأ المعياري للقيم (5، 10، 12، 15، 20):

الحل:

1. نبدأ بحساب المتوسط الحسابي بحساب المجموع (62) ثم قسمته على عدد القيم (5)، ليكون الناتج (12.4).
2. نباشر بحساب التباين عن طريق طرح كل من القيم من المتوسط ثم تربيع النتائج، وجمع القيم الجديدة ثم قسمتها على عددها لنحصل على قيمة التباين.
3. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي للتباين لنحصل على الانحراف المعياري (5.35).
4. وأخيرًا، يتم تقدير الخطأ المعياري بقسمة الانحراف المعياري على جذر عدد القيم، ليكون الناتج (2.39).