فهم مفهوم القطوع المكافئة

نبذة عن القطع المكافئ

القطع المكافئ، الذي يعرف أحيانًا بالشَلجمي، هو شكل ثنائي الأبعاد ينتمي إلى فئة القطوع المخروطية. ينشأ هذا الشكل نتيجة لقطع سطح مخروط دائري قائم بواسطة مستوى موازٍ للراسم، مع مراعاة بؤرته (النقطة) ودليله (وهو الخط المستقيم المساوي في المستوى).

يمثل القطع المكافئ المحل الهندسي للنقاط الموجودة في المستوى، حيث إن المسافة بين أي نقطة من هذه النقاط والبؤرة تتساوى مع المسافة بينها وبين الدليل. يُعتبر محور التماثل هو الخط الذي يمر بالبؤرة ويكون عموديًا على الدليل، بينما تُسمى نقطة تقاطع محور التماثل مع القطع المكافئ برأس القطع المكافئ.

رأس القطع المكافئ هو النقطة التي يحدث عندها تغيير في فترات الزيادة والنقصان، حيث يكون ميل المماس عند هذه النقطة مساويًا للصفر. يمكن أن يكون القطع المكافئ مفتوحًا في أي من الاتجاهات الأربعة.

استخدامات القطع المكافئ

تتعدد استخدامات القطع المكافئ، حيث يُستخدم في تصنيع مرايا السيارات والمصابيح الأمامية، كما يتم الاستفادة منه في تصميم الصواريخ الباليستية. بالإضافة إلى ذلك، له دور في مجالات متعددة مثل الفيزياء والهندسة.

أيضًا، يتم استخدام عاكسات القطع المكافئ في التطبيقات الفضائية، مثل قنوات البث والرادار وأبراج الاتصالات المحمولة، بالإضافة إلى مجمّعات الصوت. ويستخدم هذا الشكل الهندسي أيضًا في التلسكوبات الراديوية الكبيرة التي تحتاج لاستقبال إشارات ضعيفة من الفضاء لإنشاء صور لكائنات بعيدة.

وفقًا للأسطورة، يُقال إن الجيش اليوناني استخدم المرايا المكافئة لإشعال النيران في سفن رومانية أثناء الهجوم على سيراكيوز عام 213 قبل الميلاد، على الرغم من أن هذا الأمر قد يُعتبر مجرد خيال.

تمتد استخدامات القطع المكافئ إلى الجسور المعلقة، حيث يُخطئ البعض في التمييز بينه وبين المنحنى المعروف بالمنحني السلسلي بسبب تشابه الشكل. من الجدير بالذكر أنه عندما يتعلق الأمر بتحميل أوزان على كابلات، فإن شكل المنحنى يتحول إلى قطع مكافئ.

معادلات القطع المكافئ

فيما يلي عرض لمعادلات القطع المكافئ:

عندما يكون مفتوحاً لليمين أو لليسار

تشمل هذه الحالة معادلتين:

• إذا كانت إحداثيات ذروته (x0، y0) فإن المعادلة تأخذ الشكل التالي:

• إذا كانت الذروة تقع على محور الإحداثيات، تصبح معادلة القطع بالشكل التالي:

y² = 4ax

عندما يكون مفتوحاً للأعلى أو للأسفل

تشمل هذه الحالة أيضًا معادلتين:

• إذا كانت إحداثيات الذروة (x0، y0) فإن المعادلة تتخذ الشكل التالي:

• إذا كانت الذروة تقع على محور الإحداثيات، تصبح المعادلة بالشكل التالي:

x² = 4ay

من المهم الإشارة إلى أن a تمثل المسافة بين رأس القطع المكافئ والبؤرة.

تاريخ معادلات القطع المكافئ

يُعزى اكتشاف القطع المكافئ إلى العالم اليوناني ميناشموس في منتصف القرن الرابع قبل الميلاد. وقد سماه أبولونيوس من بيرجا في الفترة ما بين القرنين الثالث والثاني قبل الميلاد، حيث استخدم القطع المكافئ كمساعدة في حل مشكلة إيجاد البنية الهندسية للجذر المكعب للرقم 2. ورغم عدم قدرته على حل هذه المعادلة في سياق البناء، إلا أنه أظهر إمكانية إيجاد الحل من خلال تقاطع منحنيين مكافئين.

تشير كلمة “بارابولا” (بالإنجليزية: Parabola) إلى التطبيق الدقيق، وهو الاسم الذي أطلقه أبولونيوس على هذه المعادلة نظراً لأن القطع المكافئ ينتج عن تطبيق منطقة محددة على خط مستقيم معين.