الارتباط بين الانحراف المعياري ومتوسط مجموعة البيانات

الانحراف المعياري والمتوسط: العلاقة بينهما

يمكن تعريف الانحراف المعياري (Standard Deviation) بأنه مقياس يعكس مقدار تشتت البيانات ومدى بعدها عن المتوسط الحسابي. يُرمز للانحراف المعياري بالرمز (σ)، ويشير إلى انتشار البيانات حول المتوسط الحسابي، بالإضافة إلى تحديد عرض المنحنى ومدى اقترابه من المحور الأفقي. في المقابل، يُعرف المتوسط الحسابي (Mean) بأنه القيمة التي تمثل متوسط مجموعة من الأرقام، ويتم حسابه بجمع جميع قيم البيانات المقسومة على عددها الكلي. يُرمز له بالرمز (x̅). يمثل المتوسط الحسابي مركز البيانات عند توزيعها على منحنى طبيعي. من المهم ملاحظة أن قيم المتوسط الحسابي ترتبط بشكل وثيق مع الانحراف المعياري؛ حيث تزداد قيمة الانحراف المعياري كلما تباعدت البيانات عن المتوسط الحسابي.

طرق حساب الانحراف المعياري والمتوسط الحسابي

حساب المتوسط الحسابي

يتم حساب المتوسط الحسابي لمجموعة من البيانات باستخدام الصيغة التالية:

المتوسط الحسابي = مجموع قيم جميع البيانات / عدد القيم الكلي

ويمكن التعبير عنها باستخدام الرموز على النحو التالي:

م = (س₁ + س₂ + س₃ + … + س_ن) / ن

أو بالصيغة الإنجليزية:

(x̅ = ∑ (xi) / n)

حيث إن:

• م (x̅): المتوسط الحسابي.
• س (xi): قيمة البيانات.
• ن (n): العدد الإجمالي للقيم.

مثال:

لحساب المتوسط الحسابي للأرقام التالية:

25، 20، 37، 32، 47، 40. إذًا مجموع الأرقام هو 25 + 20 + 37 + 32 + 47 + 40 = 201، وعدد الأرقام هو 6. وبذلك يصبح المتوسط الحسابي = 201 / 6 = 33.5.

حساب الانحراف المعياري

يعتمد حساب الانحراف المعياري على المتوسط الحسابي، ويمكن تمثيله بالصيغ التالية:

الانحراف المعياري = √[(القيمة الأولى – المتوسط الحسابي)² + (القيمة الثانية – المتوسط الحسابي)² + … + (القيمة الأخيرة – المتوسط الحسابي)²] / (عدد القيم – 1)

وبالرموز:

ح م = √[((س₁ – م)² + (س₂ – م)² + … + (س_ن – م)²)] / (ن – 1)

وبالرموز الإنجليزية:

[(σ = √[∑((xi – x̅)²) / (n – 1)])

حيث إن:

• ح م (σ): الانحراف المعياري.
• م (x̅): المتوسط الحسابي.
• س (xi): قيمة البيانات.
• ن (n): العدد الإجمالي للقيم.

مثال:

لحساب قيمة الانحراف المعياري لعينة تحتوي على القيم (1، 2، 2، 4، 6):

أولًا، نحسب المتوسط الحسابي:

المتوسط الحسابي = (1 + 2 + 2 + 4 + 6) / 5 = 15 / 5 = 3.

ثم نقوم بطرح المتوسط الحسابي من كل قيمة وتربيع الناتج. نقوم بإعادة هذه الخطوة لجميع القيم:

(1 – 3)² = 4، (2 – 3)² = 1، (2 – 3)² = 1، (4 – 3)² = 1، (6 – 3)² = 9.

بعد ذلك، نجمع النواتج: 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16، ثم نقسم الناتج على عدد القيم مطروحًا منها 1:

16 / (5 – 1) = 16 / 4 = 4.

وبالتالي، نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة:

الانحراف المعياري للعينة = √4 = 2.