تعريف الدالة التربيعية وأهم خصائصها

الدالة التربيعية

تعتبر الدالة التربيعية نوعًا من التعبيرات الجبرية متعددة الحدود، تحتوي على متغير واحد أو أكثر، حيث يكون أعلى أس للمتغير من الدرجة الثانية. ويمكننا كتابتها في صورتها العامة كما يلي:

ق(س) = أ × س² + ب × س + ج.

حيث تمثل الأعداد أ، ب، ج ثوابت المعادلة، وهي أعداد حقيقية، مع شرط أن لا تساوي أ صفرًا.

رأس الدالة التربيعية

تمثل صيغة رأس الدالة التربيعية بالشكل التالي:

ص = أ × (س – هـ)² + ك

حيث تمثل أ، هـ، ك أعدادًا حقيقية، على أن أ لا تساوي صفرًا.

وهنا نجد أن:

هـ = – (ب / 2 أ)

ك = ق (هـ)

إذا كانت إشارة أ موجبة، فإن الرأس يمثل الحد الأدنى، أما إذا كانت سالبة، فإنه يمثل الحد الأقصى.

المجال والمدى للدالة التربيعية

مجال الدالة التربيعية هو القيم الممكنة لـ س التي تجعل الدالة محددة، بينما يتمثل مدى الدالة التربيعية في القيم الممكنة لـ ص التي تحققها الدالة عبر تعويض قيم س المختلفة.

لتوضيح ذلك، يعد المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، ويمكن كتابته بالشكل التالي: (-∞، ∞)، بينما يعتمد مدى الدالة التربيعية على خصائص المنحنى ورأسه، لذلك يجب علينا البحث عن القيم الأدنى والأقصى لـ ق(س) من خلال الرسم البياني.

طرق حل الدالة التربيعية

توجد ثلاث طرق رئيسية لحل المعادلة التربيعية؛ وهي التحليل، استخدام القانون العام، أو إكمال المربع. تجدر الإشارة إلى أن الدالة التربيعية قد تمتلك جذورًا حقيقية أو خيالية، وفيما يلي تفاصيل هذه الطرق:

طريقة التحليل

في هذه الطريقة، نقوم بجمع جميع الحدود في جهة واحدة فقط، مع ترك الصفر بعد علامة المساواة في الجهة الأخرى، ثم نقوم بتحليل المعادلة إلى عوامله، وأخيرًا نحصل على الحل.

مثال: حل المعادلة التالية: س² – 6 س = 16

الحل:

1. نبدأ بجمع جميع الحدود في جهة واحدة وترك الصفر في الجهة الأخرى لتصبح المعادلة كالتالي: س² – 6 س – 16 = 0
2. نحلل الدالة التربيعية إلى عواملها: (س – 8)(س + 2) = 0
3. نحلل كل عامل بمفرده من خلال مساواته بالصفر: (س – 8) = 0 أو (س + 2) = 0
4. وبذلك نجد؛ س = 8، وس = -2
5. نقوم بالتحقق من الحلول من خلال تعويضها في المعادلة الأصلية، وبالتالي تكون (8، -2) هي حلول الدالة التربيعية س² – 6 س = 16.

باستخدام القانون العام

نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية في حال كانت جذور المعادلة غير منطقية، ويتمثل القانون في: س = ((-ب) ± √(ب² – 4 × أ × ج)) / (2 × أ). يجب أن تكون الثوابت أ، ب، ج مأخوذة من المعادلة التربيعية في شكلها: أ × س² + ب × س + ج = 0.

من المهم أيضًا النظر إلى المميز (√(ب² – 4 × أ × ج))، حيث إذا كان يساوي صفرًا، يكون هناك جذر حقيقي واحد، وإذا كان موجبًا يكون هناك جذرين حقيقيين مختلفين، أما إذا كان سالبًا فلا يوجد جذور حقيقية.

مثال: حل المعادلة التربيعية: س² – 5 س = – 6.

الحل:

1. نجمع جميع الحدود في جهة واحدة ونساويها بالصفر: س² – 5 س – 6 = 0
2. نستخدم القانون العام: س = ((-ب) ± √(ب² – 4 × أ × ج)) / (2 × أ)
3. س = ((-5) ± √(5² – 4 × 1 × 6)) / (2 × 1)
4. س = (5 ± 1) / 2
5. وبذلك نجد؛ س = 3 أوس = 2.
6. لذا، تعتبر 3 و2 حلولًا للمعادلة التربيعية، ووجب التنويه أن المميز موجب، مما يعني أننا نحصل على حلين.

بطريقة إكمال المربع

لحل المعادلات التربيعية ذات الجذور الحقيقية والخيالية باستخدام طريقة إكمال المربع، نتبع الخطوات التالية:

1. نكتب المعادلة بصورة: أ × س² + ب × س = – ج
2. نتأكد أن معامل س² هو 1، وإذا لم يكن كذلك نضرب طرفي المعادلة بـ (1/أ) قبل البدء في الحل.
3. نضيف (ب / 2)² لكلا طرفي المعادلة لتكوين مربع كامل.
4. نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة.
5. نحل المعادلة.

مثال: حل الدالة التربيعية التالية: س² – 6 س + 5 = 0.

الحل:

1. نكتب الدالة التربيعية بالشكل: س² – 6 س = – 5
2. نتأكد أن معامل س² هو 1.
3. نضيف قيمة (ب / 2)² لكلا الطرفين، أي تربيع (-6 / 2) وهو 9.
   1. س² – 6 س + 9 = – 5 + 9
   2. س² – 6 س + 9 = 4
   3. (س – 3)² = 4

1. نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: س – 3 = ± 2
2. نحل المعادلة: (س – 3) = – 2 أو (س – 3) = 2
3. وبذلك نجد؛ س = 5 أو س = 1.
4. تمثل 5 و1 حلولًا للدالة التربيعية.