دراسة حول المتتابعات والمتسلسلات الهندسية وأنواعها المختلفة

تناول هذا المقال موضوع المتتابعات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها، والتي تعد من المجالات الأساسية في علم الرياضيات، حيث تتعلق بتمثيل مجموعة من الأعداد. المتسلسلات تمثل مجموعات محددة من الحدود، وسنستعرض تفاصيل هذا البحث في الفقرات التالية.

مقدمة في المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

يعتبر علم الرياضيات بكافة فروعه، بما فيها المتتابعات والمتسلسلات الهندسية، ضروريًا في الحياة اليومية، حيث يُستخدم في إجراء العمليات الحسابية المختلفة وفي تحقيق الالتزامات التي يتطلبها الفرد بشكل متكرر.

كما يمكن أن نقدم لك المزيد من المعلومات عن: 

تعريف المتتابعات

• يمكن تعريف المتتابعة بأنها مجموعة من الأرقام، حيث يرتبط كل رقم بنمط معين.
• غالبًا ما تكون المتتابعات مرتبطة بنمط خاص، حيث يكون لكل رقم في التسلسل رقم حد، يُعرف برقم الحدود.
• على سبيل المثال، إذا اعتبرنا مجموعة من الصناديق تحتوي على كرات، فإن ترتيب الصناديق هو رقم الحدود، وما يحويه من كرات يكون القيمة الحدية.
• مثلًا، في قطار يحتوي على 20 عربة، مع عدد مختلف من الركاب في كل واحدة، تُعتبر العربات أرقامًا حدودية، بينما عدد الركاب هو القيمة الحدية.
• إذا كان هناك 12 راكبًا في إحدى العربات، فإن الرقم 15 يمثل الحد الأقصى، بينما الرقم 12 هو عدد الحد.

1- المتتابعات الهندسية

• المتتابعة الهندسية تعرف بأنها تسلسل حيث تتساوى نسبة كل عنصر مع العناصر المتتالية.
• على سبيل المثال، 2، 6، 18، 54، 162 تمثل متتابعة هندسية مكونة من 5 عناصر، حيث العنصر الأول هو 2.
• يمكن حساب النسبة بين العناصر مثل: 6/2 = 3، و54/18 = 3، ويمكن استنتاج القاعدة العامة للمتسلسلة الهندسية باستخدام القانون التالي: H N = A × R (N -1).
• هنا، A يمثل العنصر الأول في المتتابعة الهندسية، وR هو النسبة الثابتة.
• يمكن توضيح ذلك من خلال المثال التالي: افترض أن لدينا المتتابعة 5، 10، 20، 40، حيث يمكن حساب القاعدة كما يلي: H N = 5 X 2 (N-1).
• للإيجاد مجموع المتتاليات حتى الحد المذكور في N، إذا كانت R 1، فعندها: Total = A × (R^N – 1) / (R – 1).

2- ملاحظات حول المتتابعات الهندسية

• لحساب الحد النوني من المتتابعة الهندسية، يُستخدم H = A × R (N – 1)، حيث A هو الحد الأول وR هو أساس المتسلسلة.
• المتوسط الهندسي لكل من العددين أ وب هو العنصر الموجود في المتتابعة، حيث A هو الأول وB هو الأخير.
• إذا كانت الأرقام a, b, c في تحقق هندسي، فإن b هو المتوسط الهندسي، حيث: أ / ب = ب / ج مما يعني: ب = الجذر التربيعي لأجمال A × ج.

يمكنك قراءة المزيد هنا: 

كيفية إيجاد قاعدة المتتابعات

• لإيجاد قواعد المتسلسلة، يجب أولاً تحديد نوع التسلسل وما إذا كان حسابيًا أم هندسيًا، ثم تطبيق القواعد حسب الطريقة السالفة الذكر.
• إذا لم يوجد نوع واضح، يمكن اكتشاف القاعدة من خلال التجربة والخطأ.
• بعبارة أخرى، حاول تحديد العلاقة بين الأرقام المختلفة.
• على سبيل المثال، لنأخذ التسلسل 1، 4، 9، 16 والذي لا يُعتبر حسابيًا أو هندسيًا، يمكننا ملاحظته، فكل رقم يساوي مربع ترتيبه، أي H n = n².
• بالتالي، الحدود المتبقية تكون: 1، 4، 9، 16، 25، 36، 49.

تطبيقات المتتابعات

• تستخدم المتتابعات في عمليات عديدة تعتمد على نمط محدد، وتساهم في البناء الرياضي، كما تُعتبر جزءًا رئيسيًا في العديد من التطبيقات الرياضية.
• فمثلاً، يمكن استخدامها في ترتيب الأمور المالية، حيث تُساعد في حساب الأقساط والالتزامات المالية.

أمثلة توضيحية على المتتابعات

1- المثال الأول

حدد الحد الخامس والثلاثون في المتتابعة التالية: 3، 9، 15، 21، ……؟

الحل

يمكن استخدام قاعدة المتتابعة الحسابية لحل هذه المسألة: H N = H 1 + (N – 1) X D، لنحصل على: 

• الفرق بين العناصر المتتالية هو: D = 6، والعنصر الأول هو 3، لذا فإن القاعدة هي: H N = 3 + (N-1) X 6 = 6 X N – 3.
• حيث N يمثل ترتيب النتائج، والذي يساوي 35، إذاً: H35 = 6 × 35 – 3 = 207.

2- المثال الثاني

متتالية حسابية حيث الحد الخامس يساوي -8 والحد الخامس والثلاثين يساوي 72، فما هي القواعد وما هي قيمة الحد المفقود؟

الحل

• نظرًا لأن هذا تسلسل حسابي، فإن قاعدته العامة هي: H N = H 1 + (N – 1) X D، ولإيجاد أي عنصر، نحتاج أولاً إلى تحديد قيم H 1 وD.
• بما أن الحد الخامس يساوي -8 فلدينا: -8 = H1 + (5-1) × D (المعادلة الأولى).
• وبما أن الحد الخامس والثلاثين يساوي 72، يمكننا الكتابة: 72 = H 1 + (35-1) × D (المعادلة الثانية). بعد ذلك، نحل المعادلتين