تحليل الاختلافات بين مكعبين

تحليل الفرق بين مكعبين يعد من الموضوعات الرياضية الأساسية التي تثير اهتمام الطلاب، خاصة في فترات الامتحانات. يعتبر هذا التحليل أحد الأدوات الحسابية المهمة التي يستخدمها العديد من الطلاب في آداء اختباراتهم. في هذا المقال، سنتناول مفهوم تحليل الفرق بين مكعبين وأهميته.

تحليل الفرق بين مكعبين

• الفرق بين مكعبين يُعتبر ضمن الحالات الخاصة في علم الرياضيات، ويرجع ذلك لتفاصيل عدة سيتم توضيحها في هذا المقال.
  • تفهم التركيب الخاص للفرق بين مكعبين يعد أمرا ضروريا.
• القاعدة الأساسية التي تتعلق بالفرق بين مكعبين هي تلك التي تتعلق بالحدين س³ – ص³، حيث يكون س³ هو الحد الأول.
  • يجب أن يكون الحد س³ مكعبًا كاملاً، بينما يكون ص³ هو الحد الثاني الذي يجب أيضًا أن يكون مكعبًا كاملاً.
• العلاقة بين الحدين تظهر في الشكل الخاص بالطرح، ومن هنا يُفسر الفرق بين مكعبين.

كما ننصحك بقراءة مقالنا حول:

كيفية تحليل الفرق بين مكعبين؟

• يمكن تمثيل معادلة الفرق بين مكعبين بالشكل التالي:
  • (الجذر التكعيبي للحد الأول – الجذر التكعيبي للحد الثاني) × (مربع الجذر التكعيبي للحد الأول + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الأول مع الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني).
  • لذا يمكن كتابة المعادلة كالتالي (س³ – ص³) = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
• لكي تتمكن من تحليل الفرق بين مكعبين، فإن هناك معايير رياضية يجب تحقيقها.
• تشمل هذه المعايير ضرورة كتابة المعادلة في الشكل العام (س³ – ص³).
  • ثانياً، يجب التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين، وفي حال وجوده ينبغي إخراجه أولاً من المعادلة.
  • بعد ذلك، نقوم بفتح الأقواس بحيث تظهر العلاقة كعلاقة ضرب، مع توضيح العامل الذي تم إخراجه في الخطوة الأولى وضربه بهما.
• ثم ندون في القوس الأول إشارة الطرح، بينما في القوس الثاني نكتب إشارات الجمع بهذا الشكل (-) × (+ +).
• بعدها نقوم بحساب الجذر التكعيبي للحد الأول وكتابته دون إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطرح.
  • أي بهذا الشكل: (س -) × (+ +)، مع حساب الجذر التكعيبي للحد الثاني وكتابته دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطرح كما يلي (س – ص) × (+ +).
  • بهذا الشكل، نكون قد أنهينا الشكل النهائي للقوس الأول.
• أما بالنسبة للقوس الثاني، فيتم تنفيذه على هذا النحو: بتربيع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)².
  • ويتم تدوينه على هذا النحو في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى: (س – ص) × (س² + +).
• وبعد ذلك، نبحث عن ناتج ضرب الحد الأول في الحد الثاني: ش.ص.
  • هذا الناتج يُكتب داخل القوس الثاني بين إشارات الجمع:
  • (س – ص) × (س² + (س×ص) +)، ثم نقوم بتربيع الجذر التكعيبي للحد الثاني: (ص)².
  • ويتم تدوينه داخل القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية: (س – ص) × (س² + (س×ص) + ص²).
  • وبهذا الشكل، نكون قد وصلنا إلى المعادلة النهائية للقوسين: (س³ – ص³) = (س – ص) × (س² + (س×ص) + ص²).

يمكنك أيضاً التعرف على:

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

سوف نقدم بعض المعادلات العملية التي تساعد على الفهم بشكل أفضل:

المثال الأول

• سنقوم بتحليل الحدود التالية إلى عواملها الأولية: س³ – 27 (3). الحل هو:
  • هذا ثنائي الحدود يمثل الفرق بين مكعبين، حيث يعتبر الحد س³ مكعبًا كاملاً.
  • الحد 27 أيضاً يمثل مكعباً كاملاً، حيث الجذر التكعيبي للحد (س³) يساوي س.
  • بينما الجذر التكعيبي للحد (27) يساوي 3، وبالتالي يمكن كتابة قانون الفرق بين مكعبين كالتالي:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²). وبذلك النتيجة هي: س³ – 27 = (س – 3)(س² + 3س + 9).
• المعادلة الثانية هي (64 – 125) (4)، باستخدام الفرق بين مكعبين:
  • يمكننا أن نلاحظ أن الحد الأول 125 هو مكعب كامل = 5×5×5.
  • بينما الحد الثاني 64 هو كذلك مكعب كامل = 4×4×4، وبالتالي يمكننا حل هذه المسألة بالشكل التالي:
  • 64 – 125 = (4)³ – (5)³، وذلك يعتمد على القاعدة الأساسية للفرق بين مكعبين والتعويض لنصل إلى النهاية كالتالي:
  • (4)³ – (5)³ = (4 – 5) × ((4)² + (4×5) + (5)²) = (1-) × (16 + 20 + 25) = 61-
• المثال الثالث يتعلق بمحاولة تحليل ثنائي الحدود التالي إلى عواملها الأولية س³ – 8.[3].
  • في هذه الحالة، نجد أن ثنائي الحدود الناتج يجسد الفرق بين مكعبين.
  • الحد س³ يُعتبر مكعبًا كاملاً، والحد 8 هو أيضاً مكعب كامل.
  • الجذر التكعيبي للحد (س³) يساوي س، والجذر التكعيبي للحد (8) يساوي 2.
  • بالتالي، وفقًا لقانون الفرق بين مكعبين: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
  • لذا تكون النتيجة النهائية هي: س³ – 8 = (س – 2)(س² + 2س + 4).
• المثال الرابع: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية 64س³ – 343ص³.[3].
  • في هذه الحالة نجد أن 64س³ عبارة عن مكعب كامل = (4س).
  • بينما الحد الثاني 343ص³ هو مكعب كامل = 7ص×7ص×7ص، ومن ثم نصل إلى الناتج النهائي:
    • 64س³ – 343ص³ = (4س)³ – (7ص)³، ومن خلال تطبيق القاعدة الأساسية للفرق بين مكعبين، نجد:
    • (4س)³ – (7ص)³ = (4س – 7ص) × ((4س)² + (4س×7ص) + (7ص)²) = (4س – 7ص) × (16س² + 28س ص + 49ص²).

المثال الثاني

لنستعرض بعدها مثال خامس وفي نمط الاختبارات النهائية، والذي يطلب منا تحليل ما يلي إلى عوامله الأولية:

• 250س⁴ – 128س باستخدام الفرق بين مكعبين.[2]، سيكون الحل بالشكل التالي.
• من المهم أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، لا سيما في هذه الحالة.
• لأن كلا الحدين لا يُشكل مكعبًا كاملاً، نجد أن العامل المشترك هو 2س، والذي يمكن استخراجه ليصبح:
  • 2س(125س³ – 64)، والتي تحتوي على مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (125س³) يساوي 5س.
  • كما أن الجذر التكعيبي للحد (64) يعادل 4، وباستخدام القاعدة الرئيسية لقانون الفرق بين مكعبين:
    • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، تكون النتيجة كالتالي:
    • 250س⁴ – 128س = 2س(5س – 4)(25س² + 20س + 16).
  • المسألة السادسة: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 40س³ – 625ص³.[5].
  • كما ينبغي التأكد مرة أخرى من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود.
    • في هذه الحالة اكتشفنا أن هناك عامل مشترك هو 5، لذا يمكن استخراجه ليصبح:
    • 5(8س³ – 125ص³)، والتي تحتوي على مكعبين كاملين. حيث أن الجذر التكعيبي للحد (8س³) يساوي 2س.
  • بالإضافة إلى أن الجذر التكعيبي للحد (125ص³) يساوي 5ص، ولذلك وفقًا للقاعدة الأساسية لقانون الفرق بين مكعبين:
    • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، ستكون النتيجة:
    • 40س³ – 625ص³ = 5(2س – 5ص)(4س² + 10س ص + 25ص²).
  • المسألة السابعة: س³ص⁶ – 64.[6]، هنا نجد أن ثنائي الحدود الناتج يمثل الفرق بين مكعبين.
    • حيث يعتبر الحد س³ص⁶ مكعبًا كاملاً، والحد 64 هو أيضاً مكعب كامل.
    • الجذر التكعيبي للحد (س³ص⁶) يعادل س ص²، بينما الجذر التكعيبي للحد (64) يساوي 4.
  • طبقًا للقاعدة الأساسية للفرق بين مكعبين: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
    • النتيجة ستكون: س³ص⁶ – 64 = (س ص² – 4)(س² ص⁴ + 4 س ص² + 16).
  • المسألة الثامنة: 27س³ – 1/(8ص³).[7]، هنا يكون الحل كالتالي حيث أن ثنائي الحدود الناتج يمثل الفرق بين مكعبين.
  • الحد 27س³ يعتبر مكعبًا كاملاً، والحد 1/(8ص³) أيضًا يعتبر مكعبًا كاملاً.
  • الجذر التكعيبي للحد (27س³) يعادل 3س، في حين أن الجذر التكعيبي للحد 1/(8ص³) يساوي 1/(2ص).
  • وبالتالي حسب القاعدة الأساسية للفرق بين مكعبين: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
    • الناتج سيكون: 27س³ – 1/(8ص³) = (3س – 1/(2ص))(9س² + (3س) / (2ص) + 1/(4ص²)).

  المثال الثالث

  • المسألة التاسعة: س³ – 1.[8]، الحل هنا يتطلب التأكد من وجود عامل مشترك.
    • في هذه الحالة، لا يوجد عامل مشترك، وثنائي الحدود الناتج يمثل الفرق بين مكعبين.
    • حيث أن الحد س³ يُعتبر مكعبًا كاملاً، والحد 1 أيضًا جاء مكعبًا كاملاً.
    • وبذلك، الجذر التكعيبي للحد (س³) يساوي س، والجذر التكعيبي للحد 1 يساوي 1.
  • وبناءً على القاعدة الأساسية لقانون الفرق بين مكعبين: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، تصبح النتيجة:
    • س³ – 1 = (س – 1)(س² + س + 1).
  • المسألة العاشرة: 648س³ – 81.[8]، هنا يمكن الوصول للحل كما يلي:
  • نفترض وجود عامل مشترك هو 3، مما يمكن استخراجه لتصبح المعادلة بالصورة التالية:
  • 3(216س³ – 27)، والتي تتضمن مكعبين كاملين، حيث الجذر التكعيبي للحد (216س³) يساوي 6س.
• بالإضافة إلى أن الجذر التكعيبي للحد (27) يساوي 3، لذا وفقًا للقاعدة الأساسية للفرق بين مكعبين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
  • تصبح النتيجة النهائية 648س³ – 81 = 3(6س – 3)(36س² + 18س + 9).

يمكنك أيضاً الاطلاع على: