أشكال الهندسة الأساسية في علم الرياضيات

أبرز المجسمات الهندسية

تتنوع المجسمات الهندسية، التي تمثل الأشكال ثلاثية الأبعاد في علم الرياضيات، وأكثرها شهرة تتضمن:

الهرم

الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) هو شكل مجسم يتكون من قاعدة مضلعة ومستوية ذات حواف مستقيمة، بالإضافة إلى ثلاثة أوجه مثلثة أو أكثر تلتقي عند نقطة واحدة تسمى القمة (بالإنجليزية: the Apex). يتميز الهرم بعدم وجود أي منحنيات، وله عدة أنواع، منها:

• الهرم القائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid) حيث تكون القمة عمودية على مركز القاعدة.
• الهرم المائل: (بالإنجليزية: Oblique Pyramid) حيث لا تقع القمة فوق مركز القاعدة، مما يؤدي إلى عدم تماثل الأوجه الجانبية المثلثة.
• الهرم الثلاثي: (بالإنجليزية: Triangular Pyramid) ذو قاعدة مثلثية.
• الهرم الرباعي: (بالإنجليزية: Square Pyramid) ذو قاعدة مربعة.
• الهرم الخماسي: (بالإنجليزية: Pentagonal Pyramid) ذو قاعدة مضلعة خماسية.
• الهرم المنتظم: (بالإنجليزية: Regular Pyramid) حيث تكون قاعدته مضلعة منتظمة.
• الهرم غير المنتظم: (بالإنجليزية: Irregular Pyramid) ذو قاعدة غير منتظمة.

قوانين هامة حول الهرم تشمل:

• حجم الهرم: يعرف الحجم بأنه مقدار الفراغ الذي يشغله الشكل الثلاثي الأبعاد، ويقاس باستخدام وحدات مكعبة. قانون حجم الهرم هو:

حجم الهرم = ⅓ × (مساحة القاعدة) × الارتفاع

• مساحة سطح الهرم: هي المساحة الإجمالية لجميع الأسطح. وعند حسابها، يستخدم القانون التالي:

مساحة سطح الهرم = (مساحة القاعدة) + ½ × (محيط القاعدة) × (الارتفاع الجانبي أو طول المائل).

الأسطوانة

الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder) هي مجسم ثلاثي الأبعاد يتكون من دائرتين متطابقتين متصلتين بسطح منحني، مما يمنحها جانباً واحداً منحنياً وقاعدتين مستويتين ومتوازيتين.

قوانين مهمة للأسطوانة تتضمن:

• حجم الأسطوانة: لحساب حجم الأسطوانة نستخدم القانون التالي:

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

حجم الأسطوانة = π × مربع نصف قطر القاعدة × ارتفاع الأسطوانة = (π × نق²) × (ع)

حيث أن:

• نق: نصف قطر القاعدة الدائرية.
• ع: ارتفاع الأسطوانة.

• مساحة الأسطوانة: عند فرد الأسطوانة، يمكن ملاحظة أنها تتكون من دائرتين ومستطيل، لذا نحتاج لجمع مساحات الأسطح:

مساحة الأسطوانة = 2 × مساحة القاعدة الدائرية + مساحة المستطيل (المساحة الجانبية)

بالرموز:

مساحة الأسطوانة = 2 × (π × نق²) + 2 × π × نق × ع

حيث إن:

• نق: نصف قطر القاعدة الدائرية.
• ع: ارتفاع الأسطوانة.

المخروط

المخروط (بالإنجليزية: Cone) هو شكل هندسي يتميز بوجود قاعدة مستديرة وسطح منحني يتجه نحو القمة أو الرأس (بالإنجليزية: Apex) التي تشكل النهاية المدببة للمخروط. يتمتع المخروط بثلاث خصائص رئيسية:

• وجه دائري واحد.
• عدم وجود حواف.
• زاوية واحدة.

يسمى المخروط دائري قائم (بالإنجليزية: Right Circular Cone) إذا كانت قمة المخروط فوق مركز القاعدة، بينما يسمى المخروط المائل (بالإنجليزية: Oblique Cone) إذا كانت قمة المخروط مائلة عن المركز.

قوانين هامة للمخروط تشمل:

• المساحة الكلية لسطح المخروط: يمكن حسابها باستخدام القانون:

المساحة الكلية لسطح المخروط = π × نصف قطر قاعدة المخروط × طول المائل

بالرموز:

المساحة الكلية لسطح المخروط = π × نق × ل

حيث أن:

• π: ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.
• نق: نصف قطر قاعدة المخروط.
• ل: طول المائل.

• حجم المخروط: القانون لحساب حجم المخروط هو:

حجم المخروط = ⅓ × π × مربع نصف قطر قاعدة المخروط × ارتفاع = ⅓ × π × نق² × ع.

وبالرموز:

حجم المخروط = ⅓ × π × نق² × ع

حيث أن:

• π: ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.
• نق²: مربع نصف قطر قاعدة المخروط.
• ع: الارتفاع.

• مساحة القاعدة: يمكن حساب مساحة قاعدة المخروط بواسطة:

مساحة القاعدة = π × مربع نصف قطر قاعدة المخروط = π × نق²

وبالرموز:

مساحة القاعدة = π × نق²

حيث أن:

• نق: نصف قطر القاعدة الدائرية.
• ل: الارتفاع الجانبي للمخروط، أو طول المائل.
• ع: ارتفاع المخروط.

المكعب

المكعب (بالإنجليزية: Cube) هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يضم 6 وجوه مربعة، و8 رؤوس، و12 حافة. يتميز المكعب بالعديد من الخصائص التي تشمل:

• كل الزوايا قائمة.
• ارتفاع المكعب يساوي عرضه وطوله.
• جميع وجوه المكعب مربعة ولها نفس الأبعاد.
• الأضلاع المتقابلة متوازية.

قوانين أساسية للمكعب تشمل:

• حجم المكعب: إذا كان طول أحد أضلاعه هو س، فإن حجم المكعب يحسب كالتالي:

حجم المكعب = مكعب طول الضلع.

وبالرموز:

حجم المكعب = س³

حيث أن:

• س³: مكعب طول الضلع.

• مساحة سطح المكعب: لحساب مساحة سطح المكعب، نحسب مساحة كل وجه (المربع) الذي يساوي مربع طول الضلع س²، وبالتالي قانون مساحة سطح المكعب هو:

مساحة سطح المكعب = 6 × مربع طول الضلع

وبالرموز:

مساحة سطح المكعب = 6 × س²

حيث أن:

• س²: مربع طول الضلع.

متوازي المستطيلات

متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) هو شكل ثلاثي الأبعاد يتضمن 6 جوانب على شكل مستطيلات، ويحتوي على 8 رؤوس و12 حافة. جميع الزوايا فيه قائمة، وتكون الأوجه المتقابلة متساوية، ويختلف الطول عن العرض والارتفاع.

قوانين هامة لمتوازي المستطيلات تشمل:

• حجم متوازي المستطيلات: لحساب حجم متوازي المستطيلات نستخدم القانون التالي:

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع

وبالرموز:

حجم متوازي المستطيلات = س × ل × ع

حيث أن:

• س: عرض مستطيلات.
• ل: طول متوازي المستطيلات.
• ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.

• مساحة متوازي المستطيلات: لحساب مساحة متوازي المستطيلات يجب حساب مساحة الوجوه الجانبية والعلوية والسفلية بالشكل التالي:
• مساحة السطحين العلوي والسفلي = 2 × (الطول × العرض).
• مساحة السطحين الأمامي والخلفي = 2 × (الطول × الارتفاع).
• مساحة السطحين الجانبيين = 2 × (العرض × الارتفاع).

وبذلك، مساحة متوازي المستطيلات الكلية تساوي:

مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2 × (الطول × العرض) + 2 × (الطول × الارتفاع) + 2 × (العرض × الارتفاع) = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع).

المنشور

يمكن تعريف المنشور (بالإنجليزية: Prism) على أنه شكل هندسي يتكون من قاعدتين مضلعتين ومتوازيتين ومتطابقتين تفصل بينهما مسافة تعرف بالارتفاع. عادة ما يُطلق على المنشور اسم شكل القاعدة، فعلى سبيل المثال، إذا كانت القاعدة مثلثاً، فإنه يعرف بالمنشور الثلاثي (بالإنجليزية: Triangular Prism).

أما إذا كانت قاعدة المنشور مربعة الشكل وجميع وجوهه مربعة، يُعرف باسم المكعب (بالإنجليزية: Square Prism). المنشور ذو القاعدة المستطيلة يُدعى متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Rectangular Prism)، بينما يعرف المنشور سداسي القاعدة (بالإنجليزية: Hexagonal Prism) إذا كانت قاعدته سداسية الشكل.

قوانين هامة للمنشور تشمل:

• حجم المنشور: يحسب حجم المنشور باستخدام:

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.

• مساحة المنشور: يُحسب مساحة سطح المنشور كالتالي:

مساحة المنشور = 2 × مساحة القاعدة + محيط القاعدة × الارتفاع.

الكرة

الكرة (بالإنجليزية: Sphere) تعرف بأنها جسم هندسي دائري ثلاثي الأبعاد، حيث تكون عبارة عن دائرة ثلاثية الأبعاد ذات سطح منحني وليس بها زوايا. كل نقطة على سطح الكرة تبعد مسافة ثابتة عن مركزها، ويدعى هذا البعد بنصف القطر (نق). تعد الكرة متماثلة تمامًا.

قوانين هامة للكرة تشمل:

• مساحة سطح الكرة: تحسب مساحة سطح الكرة بالشكل التالي:

مساحة سطح الكرة = 4 × π × مربع نصف القطر

وبالرموز:

مساحة سطح الكرة = 4 × π × نق²

أو

مساحة سطح الكرة = π × ق²

حيث أن:

• نق: نصف قطر الكرة.
• ق: قطر الكرة.

• حجم الكرة: يمكن حساب حجم الكرة باستخدام القانون:

حجم الكرة = 4/3 × π × مكعب نصف قطر الكرة.

بالرموز:

حجم الكرة = 4/3 × π × نق³

حيث أن:

• نق³: مكعب نصف القطر.

أشهر الأشكال الهندسية المستوية

الأشكال الهندسية المستوية هي الأشكال ذات البعدين، ومن أهمها ما يلي:

متوازي الأضلاع

يمكن تعريف متوازي الأضلاع (بالإنجليزية: Parallelogram) بأنه شكل هندسي تكون فيه كل زوج من الأضلاع المتقابلة متوازياً، وزواياه المتقابلة متساوية، بينما تكون الزوايا المجاورة متكاملة. يملك متوازي الأضلاع قطران يقسمان كل منهما الآخر، وكل قطر يقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين. في حال كانت إحدى زواياه قائمة، فإن جميع الزوايا الأخرى ستكون قائمة أيضاً، مما يجعل الشكل مستطيلاً.

قوانين هامة لمتوازي الأضلاع تشمل:

• مساحة متوازي الأضلاع: يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع بواسطة القانون التالي:

مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع.

• محيط متوازي الأضلاع: يمكن حسابه باستخدام:

محيط متوازي الأضلاع = 2 × (طول القاعدة + طول الضلع الجانبي).

المربع

المربع (بالإنجليزية: Square) هو نوع خاص من المستطيل والمعين، حيث يمتلك خصائص مشتركة مع كل منهما. تكون جميع الزوايا قائمة وجميع الأضلاع متساوية في الطول. يمكن القول إن المربع هو شكل رباعي الأضلاع، يُشكل عن طريق رسم 4 خطوط متساوية الطول تتقاطع لتشكيل زوايا قائمة. الاختلاف بينه وبين المستطيل هو أن طول ضلعين في المستطيل يكون أطول من طول الضلعين الآخرين.

خصائص المربع تتضمن:

• تتساوى جميع الأضلاع والزوايا.
• الأضلاع المتقابلة متوازية.
• أقطاره متطابقة.
• الأقطار تتعامد وتُنصف عند نقطة التقاطع.
• يُعتبر المربع نوعاً خاصاً من متوازي الأضلاع.

قوانين هامة للمربع تشمل:

• طول قطر المربع: يمكن حسابه باستخدام القانون:

طول قطر المربع = 2√ × طول ضلع المربع

وبالرموز:

طول قطر المربع = 2√ × ل

حيث إن:

• ل: طول ضلع المربع.

• مساحة المربع: تستخدم القانون التالي:

مساحة المربع = طول ضلع المربع²

وبالرموز:

مساحة المربع = ل²

• محيط المربع: يمكن حسابه بواسطة:

محيط المربع = 4 × طول ضلع المربع

وبالرموز:

محيط المربع = 4 × ل.

المستطيل

يمكن تعريف المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle) بأنه شكل هندسي يحتوي على أربعة أضلاع وأربع زوايا قائمة. للمستطيل العديد من الخصائص، منها:

• الأضلاع المتقابلة متوازية ومتطابقة.
• الأقطار متطابقة وتنقسم إلى قسمين متساويين.
• الزوايا المتقابلة تتطابق عند التقاطع.
• يعتبر المستطيل نوعاً خاصاً من متوازي الأضلاع، حيث تكون جميع زواياه قائمة.

قوانين هامة للمستطيل تشمل:

• طول قطر المستطيل: يمكن حسابه كالتالي:

طول قطر المستطيل = √(طول² + عرض²)

بالرموز:

طول قطر المستطيل = √(ط² + ع²)

حيث إن:

• ط: طول المستطيل.
• ع: عرض المستطيل.

• مساحة المستطيل: يتم حسابها بواسطة:

مساحة المستطيل = الطول × العرض

بالرموز:

مساحة المستطيل = ط × ع

• محيط المستطيل: يتم حسابه كما يلي:

محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض)

بالرموز:

محيط المستطيل = 2 × (ط + ع)

المعين

يمكن تعريف المعين (بالإنجليزية: Rhombus) بأنه شكل هندسي يتكون من أربع خطوط مستقيمة متساوية الطول، وزواياه المتقابلة متساوية. خصائص المعين تشمل:

• الأقطار تتعامد وتُنصف عند نقطة التقاطع.
• الزوايا المجاورة تكاملية حيث مجموعها 180 درجة.
• يعد المعين متوازي أضلاع، حيث أقطاره متعامدة وأضلاعه متساوية.

قوانين هامة للمعين تتضمن:

• مساحة المعين: يمكن احتسابها باستخدام:

مساحة المعين = ½ (طول القطر الأول × طول القطر الثاني) = طول الضلع × الارتفاع.

• محيط المعين: يمكن حسابه كالتالي:

محيط المعين = 4 × طول ضلع المعين.

شبه المنحرف

شبه المنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) هو شكل هندسي يحتوي على أربعة أضلاع، مع ضلعين متوازيين فقط. يتميز بشكله الفريد حيث تختلف أضلاعه وزواياه وأقطاره.

قوانين هامة لشبه المنحرف تشمل:

• مساحة شبه المنحرف: يحسب باستخدام:

مساحة شبه المنحرف = ½ (طول القاعدة الأولى + طول القاعدة الثانية) × الارتفاع.

• محيط شبه المنحرف: يمكن حسابه بواسطة:

محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه = طول القاعدة الأولى + طول القاعدة الثانية + طول الضلع الجانبي الأول + طول الضلع الجانبي الثاني.

الدائرة

الدائرة (بالإنجليزية: Circle) هي شكل هندسي لا يحتوي على خطوط مستقيمة أو زوايا. تتكون من مجموعة من النقاط التي تبعد مسافة ثابتة عن نقطة معينة تعرف بالمركز (بالإنجليزية: Centre). الخط الذي يمر بمركز الدائرة ويصل بين نقطتين على المحيط يسمى بالقطر (ق)، بينما الخط المرسوم من المركز إلى المحيط يسمى بنصف القطر (نق).

بعض خصائص الدائرة تتضمن:

• الدوائر تتطابق إذا كانت لها نفس نصف القطر.
• قطر الدائرة هو أطول وتر فيها.
• الأوتار تتساوى في الطول إذا كانت على نفس المسافة من المركز.
• كلما زادت طول الوتر، قلّت المسافة العمودية بينه وبين المركز.

قوانين هامة للدائرة تشمل:

• مساحة الدائرة: تتحسب كالآتي:

مساحة الدائرة = π × نصف القطر²

بالرموز:

مساحة الدائرة = π × نق²

حيث أن:

• نق²: مربع نصف قطر الدائرة.

• محيط الدائرة: يتم حسابه بواسطة:

محيط الدائرة = 2 × π × نصف القطر

بالرموز:

محيط الدائرة = 2 × π × نق

• قطر الدائرة: يمكن حسابه كما يلي:

قطر الدائرة = 2 × نصف القطر

بالرموز:

ق = 2 × نق

حيث أن:

• ق: قطر الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة.
• π: ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.

المثلث

المثلث (بالإنجليزية: Triangle) هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة خطوط متصلة. يمكن أن تختلف قياسات زوايا المثلث عن بعضها البعض. عادةً، يتم تصنيف المثلثات بناءً على نوع الزوايا:

• المثلث القائم الزاوية: (بالإنجليزية: Right-Angled Triangle) الذي يحتوي على زاوية قائمة.
• المثلث الحاد الزاوية: (بالإنجليزية: Acute-Angled Triangle) الذي جميع زواياه أقل من 90 درجة.
• المثلث المنفرج الزاوية: (بالإنجليزية: Obtuse Angled Triangle) الذي يحتوي على زاوية أكبر من 90 درجة.

أيضاً، يتم تصنيف المثلثات بناءً على طول أضلاعها على النحو التالي:

• المثلث متساوي الأضلاع: (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) الذي تكون جميع زواياه 60 درجة.
• مثلث مختلف الأضلاع: (بالإنجليزية: Scalene Triangle) الذي جميع أضلاعه وزواياه مختلفة.
• مثلث متساوي الساقين: (بالإنجليزية: Isosceles Triangle) الذي له ضلعان متطابقان.

قوانين هامة للمثلث تشمل:

• مجموع زوايا المثلث = 180 درجة.
• مساحة المثلث: يمكن احتسابها باستخدام:

مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع.

• محيط المثلث: يتم حسابه كالتالي:

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.

وبالرموز:

محيط المثلث = أ + ب + ج

حيث أن:

• أ: طول القاعدة.
• ب، ج: طول الضلعين الآخرين.

تتعدد المجسمات الهندسية، أي الأشكال ثلاثية الأبعاد في الرياضيات، ومن بين الأكثر شهرة؛ الهرم، والأسطوانة، والمخروط، والمكعب، ومتوازي المستطيلات، والمنشور، والكرة. بينما تحتوي الأشكال الهندسية المستوية على بعدين، ومن أبرزها؛ متوازي الأضلاع، والمربع، والمستطيل، وشبه المنحرف، والدائرة، والمثلث.