مفهوم التكامل المحدود
يُصنَّف التكامل إلى نوعين رئيسيين هما التكامل المحدود والتكامل غير المحدود. يُعرَّف التكامل المحدود بأنه المساحة التي تتواجد تحت منحنى في الرسم البياني، حيث تبقى هذه المساحة محصورة بين نقطة بداية ونقطة نهاية على محور السينات (x). وتكون النتيجة النهائية للتكامل المحدود عددًا ثابتًا. يتفارق التكامل المحدود عن التكامل غير المحدود في النتيجة النهائية، حيث تكون ناتجة التكامل غير المحدود دالة (اقتران).
يستخدم التكامل المحدود في تطبيقات متنوعة، بما في ذلك حساب مساحة الدائرة والقطع المكافئ والقطع الناقص، بالإضافة إلى إيجاد الأحجام. علاوة على ذلك، فإنه يُستخدم في العديد من التطبيقات الفيزيائية مثل تحديد كتلة جسم يتميز بكثافة معروفة.
الصيغة العامة للتكامل المحدود
تتبع الصيغة العامة للتكامل المحدود المبرهنة المتعلقة بإيجاد المساحة. يمكن أن يُعبر عن التكامل المحدود بالصورة التالية:
التكامل من a إلى b
حيث:
- التكامل يتم على الفترة بين a وb، بحيث تمثل a الحدود الدنيا للتكامل وb الحدود العليا للتكامل.
- الاقتران الذي يتم حساب تكامله.
- تتكامل الاقترانات بالنسبة للمتغير x.
خصائص التكامل المحدود
يتسم التكامل المحدود بالعديد من الخصائص والنظريات التي تُستخدم في حل الأسئلة المرتبطة به. وفيما يلي مجموعة من الخصائص الشائعة للتكامل المحدود:
- يكون حاصل التكامل بين النقطتين (أ، ب) مساوياً للسالب لنفس التكامل بين النقطتين (ب، أ).
- يمكن تقسيم التكامل، بحيث أن ناتج التكامل في الفترة بين (أ، ب) يساوي مجموع التكامل في الفترتين بين (أ، ج) و(ج، ب).
- إذا كانت حدود التكامل متساوية، فإن ناتج التكامل يصبح صفرًا.
- إذا كان الاقتران ق(س) متصلًا في الفترة بين (أ، ب)، فإنه قابل للتكامل والاشتقاق على نفس تلك الفترة.
- ناتج التكامل للاقتراح ق(س) في الفترة (أ، ب) يعادل ناتج تكامل الاقتران ق(ص) على نفس الفترة، وتُسمى هذه الخاصية بالخاصية التبادلية.
- يمكن حساب قيمة تكامل محدود باستخدام خاصية جمع تكاملين محددين على نفس الفترة.
طرق حل التكامل المحدود
تُعتبر طريقة عكس المشتقة من أسهل الطرق لحل التكامل بشكل مباشر. ومع ذلك، قد يصبح من الصعب أحيانًا حل التكامل بهذه الطريقة، خاصة عندما يكون الاقتران في صورة معقدة جداً، مثل الاقترانات المثلثية أو اللوغارتمية، مما يتطلب استخدام تقنيات أخرى، منها:
- التكامل بالأجزاء
تساعد هذه الطريقة في إيجاد تكامل حاصل ضرب اقترانين عندما يكون صعبًا إيجاده مباشرة. تُنفذ هذه الطريقة من خلال ضرب الاقتران الأول في تكامل الاقتران الثاني، ثم نطرح حاصل التكامل الناتج عن ضرب تكامل الاقتران الثاني في مشتقة الاقتران الأول.
- التكامل بالتعويض
تُستخدم هذه الطريقة لتغيير شكل الاقتران إلى شكل مألوف يسهل إيجاد تكامله. تتضمن الخطوات تعويض المتغير بآخر وإيجاد التكامل، ثم إرجاع الاقتران إلى صورته الأصلية بعد تعويض المتغير الأصلي.
- التكامل باستخدام الكسور الجزئية
هذه الطريقة تستعمل عندما يكون الاقتران المراد تكامله صورة كسرية (أي كثير حدود على كثير حدود)، بشرط أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام. يتم إجراء التكامل باستخدام الكسور الجزئية لتبسيط الاقتران، مما يسهل عملية التكامل. تشمل خطواتها:
- أولاً، تحليل المقام.
- فرض متغيرات تساوي عدد العوامل في المقام وقسمة كل متغير على عوامل المقام.
- مساواة النتيجة بالاقتران الأصلي وإيجاد المتغيرات اللازمة ثم حل التكامل.
