القطع الزائدة
تعتبر القطع الزائدة من الأنواع المميزة للقطع المخروطية، حيث يتم تعريفها على أنها مجموعة النقاط التي تقع على سطح مستوٍ. تتكون القطع الزائدة من قسمين يشبهان القطع المكافئ، حيث يمكن أن تفتح إما إلى الأعلى والأسفل أو إلى اليمين واليسار. على الرغم من أنها ليست قطعًا مكافئًا حقًا، إلا أنها تشبهها في الشكل.
تُعرف القطع الزائدة بأنها المجموعة الكاملة من النقاط التي يظل فيها فرق المسافات ثابتًا بين أي نقطة على القطع ونقطتين ثابتتين، تُعرف هاتان النقطتان بالمعالم أو البؤر الخاصة بالقطع الزائد.
تتميز القطع الزائدة بأنها تشبه القوس، فهي منحنى بلا حدود معينة. يمكننا التركيز على جانب واحد من المنحنى؛ فإذا نظرنا إلى منحنى الجانب الأيمن، فإن الجانب الأيسر هو مجرد انعكاس لذلك المنحنى.
عناصر القطع الزائد
تحتوي القطع الزائدة على رأسين، حيث يتقاطع فرع المنحنى مع القطعة المستقيمة التي تربط بين البؤرتين. يُطلق على القطعة المستقيمة المارة بالمركز والعمودية على المحور اسم محور القاطع. بينما تُسمى القطعة المستقيمة التي تربط بين ضلعي المستطيل اللذين يوازيان محور القطاع بالمحور المرافق. بالإضافة إلى ذلك، فإن القطع الزائد تشكل نصف المسافة بين البؤرتين.
يجدر بالذكر أن القطع الزائد تحتوي على سطرين من التماثل، مما يعني أنه إذا قمنا بطي الرسم البياني للقطع الزائد تجاه محور السينات أو محور الصادات، فسوف يتداخل الجزءان، مما يؤدي إلى ظهور سطرين. النقطة التي يتقاطع عندها الخط العمودي للتماثل مع الخط الأفقي تعرف بمركز القطع الزائد، حيث يُعرف هذا المركز أيضًا بأنه نقطة تقاطع المحاور وبالتالي هو مركز تناظر القطع الزائد.
معادلات القطع الزائد
عند فتح القطع الزائد لليمين واليسار، تكون معادلته كما يلي:
بصيغة (x – h)²/a² – (y – k)²/b² = 1،
حيث (h, k) تمثل إحداثيات المركز.
أما إذا كانت القطع الزائد مفتوحة للأعلى والأسفل، فإن معادلته تتخذ الشكل:
بصيغة (y – k)²/a² – (x – h)²/b² = 1،
حيث (h, k) تمثل إحداثيات المركز.
استخدامات القطع الزائد
تستخدم القطع الزائدة في العديد من المجالات المختلفة في حياتنا اليومية، ومن الأمثلة على ذلك:
- تصميم الجيتار، حيث تأخذ جوانبه شكل القطع الزائد.
- أنظمة الأقمار الصناعية والاتصالات تُطبق مبادئ القطع الزائد.
- تم تصميم المصابيح الأمامية والأضواء الكاشفة في السيارات استنادًا إلى مفاهيم القطع الزائد الرياضية.
- العدسات والشاشات والنظارات الضوئية تعتمد على شكل القطع الزائدة.
- تُستخدم القطع الزائدة أيضًا في أنظمة الملاحة بعيدة المدى.
- ضغط الغاز وحجمه في العلاقات العكسية يمكن وصفه باستخدام القطع الزائد.
- يُعتبر مطار دالاس تصميمًا يتضمن القطع المكافئ وقطاعًا عرضيًا للقطع الزائد.
- برج كوبي بورت يُظهر شكل الساعة الرملية، مما يشير إلى احتوائه على قطعين زائدين، حيث يُمكن رؤية الأشياء من نقطة معينة على أحد الجانبين كما لو تم مشاهدتها من نفس النقطة على الجانب الآخر.
