التغيرات في الاتجاه والارتباط بين المتغيرات

التغير الطردي والتغير المشترك

في حقل الرياضيات، تبرز عادةً نوعان من الكميات: الكميات المتغيرة المعروفة بالمتغيرات، والكميات الثابتة التي تُعرف بالثوابت. إذا كانت قيمة الكمية ثابتة في ظروف مختلفة، فإنها تُعتبر ثابتًا مثل الرقم (2). بينما إذا كانت قيمة الكمية تتغير تحت ظروف مختلفة، فإنها تُعتبر متغيرًا مثل (المتغير س).

العلاقة بين المتغيرات

في علم الجبر، تتشكل علاقات بين المتغيرات، حيث قد يرتبط متغيران أو أكثر معًا بناءً على مجموعة من العلاقات، ومنها:

• التغير الطردي: في هذه الحالة، يتغير المتغيران بشكل متناسب، حيث إذا زاد أحد المتغيرين، يزداد الآخر، وإذا نقص أحدهما، ينقص الآخر بشكل متناسب.
• التغير العكسي: وهو تغير يحدث بطريقة تجعل زيادة أحد المتغيرات تقابلها نقصان في الآخر.
• التغير المشترك: يتعلق بالتغير الذي يحدث بين متغير واثنين آخرين، حيث يتغير متغير طرديًا مع حاصل ضرب المتغيرين الآخرين؛ على سبيل المثال، ترتبط مساحة المثلث بعلاقة التغير المشترك مع ارتفاع وقاعدة المثلث.
• التغير المركب: هو الحالة التي يحدث فيها تغيير لمتغير ما طرديًا أو عكسياً أو مع كليهما مع متغيرين آخرين أو أكثر.

التغير الطردي

التغير الطردي يشير إلى العلاقة بين متغيرين بحيث إذا زاد أحدهما، يزداد الآخر بنسبة ثابتة. بالمثل، إذا انخفض أحد المتغيرين، فإن الآخر ينخفض بنفس النسبة. تُعرف هذه النسبة بثابت التناسب. إذا قمنا بتمثيل العلاقة بين متغيرين يرتبطان بعلاقة طردية على الرسم البياني، فإننا نحصل على خط مستقيم. على سبيل المثال، إذا كان المتغير س يتناسب طرديًا مع المتغير ص، فإن: ص/ س = م، حيث (م) هو ثابت التناسب.

التغير المشترك

التغير المشترك يحدث عندما يكون هناك متغير يتناسب طرديًا مع حاصل ضرب متغيرين آخرين، وتظل هذه النسبة ثابتة. يمكننا التعبير عن ثابت التناسب (م) من خلال قسمة أحد المتغيرات على حاصل ضرب المتغيرين الآخرين. كمثال، إذا كان المتغير ع يتغير طرديًا مع حاصل ضرب المتغيرين (س، ص)، فإنه يمكن التعبير عنه بالعلاقة التالية: م=ع/(س*ص).

أمثلة على التغير الطردي

مثال (1): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير (س) علاقة طردية، احسب ثابت التناسب عندما يكون ص= 24، س=3.

الجواب: بما أن العلاقة بين ص وس طردية، فإن ص/ س = م، حيث إن م هو ثابت التناسب.

لذا 24/3= 8، وبالتالي، ثابت التناسب يساوي 8.

مثال (2): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير (س) علاقة طردية، وكانت قيمة ص= 30 عندما تكون س=6، احسب قيمة ص عندما تكون س=100.

الجواب: بما أن العلاقة بين ص وس هي علاقة طردية، فإن ص/ س = م.

لذا 30/6=5، إذن ثابت التناسب يساوي 5.

إذا كان ص/ س= م، وضربنا طرفي المعادلة بـ “س”، تصبح المعادلة: ص= م*س.

وبالتالي: ص = 5 * 100 = 500، لذا قيمة ص=500 عندما تكون س= 100.

مثال (3): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ن) والمتغير (ك) علاقة طردية، وكان ثابت التناسب يساوي (5/3)، احسب قيمة ن عندما تكون ك=9.

الجواب: بما أن العلاقة بين ن وك هي علاقة طردية، فإن ن/ ك = م، حيث م هو ثابت التناسب (5/3).

لذا: ن/ 9 = 5/3، وعند ضرب أطراف المعادلة بـ 9 تصبح المعادلة كالتالي:

ن= (5*9)/3 = 45/3 = 15.

إذن: ن=15 عندما ك=9.

مثال على التغير المشترك

مثال: إذا كانت العلاقة بين المتغير (ع) والمتغيرين( س) و(ص) علاقة مشتركة، وكان ع=6 عندما تكون ص=4 و س= 3، احسب قيمة ع عندما تكون ص=4 و س=7.

الجواب: بما أن العلاقة بين ع و(ص، س) هي علاقة مشتركة، فإن ع/ (س*ص) = م، حيث م هو ثابت التناسب.

لذا م = 6/(4*3) = 6/12 = 2، وبالتالي ثابت التناسب يساوي 2.

لذا 2=ع/(4 * 7)، وعند ضرب طرفي المعادلة بـ 28:

28*2=ع، إذن ع=56.