ارتفاع المثلث القائم: كيفية حسابه وأهميته

كيفية حساب ارتفاع المثلث القائم

يمكن تعريف ارتفاع المثلث على أنه المسافة العمودية التي تُسقط من إحدى زوايا المثلث إلى الضلع المقابل له. يمتلك كل مثلث ثلاثة ارتفاعات، كل منها يتعلق بقاعدة مختلفة. وفي حالة المثلث القائم الزاوية، تُعتبر إحدى ساقيه ارتفاعًا، بينما تُعتبر الساق الأخرى قاعدة. يتكون المثلث القائم الزاوية من الوتر، وهو الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة، واثنين من الضلعين الآخرين الذين يشكلان الزاوية القائمة. في بعض الحالات، يمكن اعتبار الوتر قاعدة المثلث، بينما يتم حساب الارتفاع كخط عمودي يربط بين الزاوية القائمة والوتر. في هذه الحالة، يُستخدم القانون التالي لحساب الارتفاع:

ارتفاع المثلث القائم = (طول الساق الأولى × طول الساق الثانية) / الوتر.

باستخدام مساحة المثلث

عندما تكون مساحة المثلث وطول قاعدته معروفة، يمكن حساب الارتفاع من خلال إعادة ترتيب معادلة المساحة، كما يلي:

مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع

وبالتالي يمكن التعبير عن ارتفاع المثلث كما يلي:

ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة

باستخدام نظرية فيثاغورس

يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب ارتفاع المثلث القائم عندما يكون الوتر وطول القاعدة معلومين، وذلك في حال اعتبرنا إحدى الساقين كارتفاع، حيث تنص النظرية على:

مربع الوتر = مربع الضلع الأول (القاعدة) + مربع الضلع الثاني (الارتفاع)

مثال توضيحي: لنفترض أن لدينا مثلثًا قائمًا أ ب ج، حيث طول قاعدته 12 سم وطول الوتر 24 سم. فما هو ارتفاعه؟

الحل:

• عن طريق التعويض في معادلة فيثاغورس نحصل على: 24² = 12² + الارتفاع²، وبالتالي: 576 = 144 + الارتفاع² ومنه: الارتفاع² = 432. بعد أخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن: الارتفاع = 20.78 سم.

باستخدام النسب المثلثية

يمكن أيضًا حساب ارتفاع المثلث القائم باستخدام النسب المثلثية مثل جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية وظلها، بشرط معرفة قياس إحدى الزوايا وطول القاعدة أو الوتر عند اعتبار إحدى الساقين كارتفاع، وذلك كما يلي:

• جيب الزاوية (جا) = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
• جيب تمام الزاوية (جتا) = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
• ظل الزاوية (ظا) = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.

أمثلة متنوعة لحساب ارتفاع المثلث القائم

حساب ارتفاع المثلث القائم باستخدام المساحة

المثال الأول: إذا كانت مساحة المثلث القائم 45 م² وطول قاعدته 10 م، فما هو ارتفاعه؟

الحل:

• باستخدام المعادلة: ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة = (2 × 45) / 10 = 9 م.

المثال الثاني: مثلث قائم طول قاعدته 8 سم ومساحته 24 سم²، فما هو ارتفاعه؟

الحل:

• باستخدام المعادلة: ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة = (2 × 24) / 8 = 6 سم.

المثال الثالث: مثلث قائم مساحته 10 سم² وطول قاعدته 5 سم، فما هو ارتفاعه؟

الحل:

• باستخدام المعادلة: ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة = (2 × 10) / 5 = 4 سم.

المثال الرابع: إذا كان ارتفاع مثلث قائم يزيد 8 سم عن ضعف طول قاعدته، وكانت مساحته 96 سم²، احسب ارتفاعه.

الحل:

• لنعتبر طول القاعدة هو س والارتفاع هو (8 + 2س).
• بالتعويض في المعادلة: 8 + 2س = (2 × 96) / س، بتوسيع المعادلة نحصل على: 8س + 2س² = 192، وعند تقسيم المعادلة على 2 نجد: س² + 4س – 96 = 0.
• بفضل الحلول التربيعية نحصل على: س = 8 سم، وهي طول القاعدة، بينما يكون الارتفاع: 8 + 2س = 8 + 16 = 24 سم.

حساب ارتفاع المثلث باستخدام النسب المثلثية

المثال الخامس: إذا كان أحمد يقف على بعد 30 دسم من قاعدة شجرة وكانت الزاوية المحصورة بين الخط الممتد من قدميه إلى قمة الشجرة والخط الواصل بين قدميه وقاعدة الشجرة 57 درجة، فما هو ارتفاع الشجرة؟

الحل:

• تصنع الشجرة مثلثًا قائمًا مع أحمد، حيث يمثل الوتر الخط الممتد من قدمي أحمد نحو قمة الشجرة، وارتفاعها هو ارتفاع الشجرة، في حين أن طول القاعدة هو طول الخط الممتد من قدمي أحمد إلى قاعدة الشجرة. وبناءً عليه، يُمكن حساب ارتفاع الشجرة باستخدام قانون ظل الزاوية: ظا الزاوية = الضلع المقابل / الضلع المجاور، ومن ثم:
  • ظا (57) = ارتفاع الشجرة / 30، مما يعني أن ارتفاع الشجرة = 46.20 دسم.

المثال السادس: إذا تم استخدام سلم بطول 6م للوصول إلى نافذة في مبنى، وكانت الزاوية بين السلم والأرض 60 درجة، فما هو ارتفاع النافذة عن سطح الأرض؟

الحل:

• تشكل النافذة مع السلم مثلثًا قائمًا حيث يمثل الوتر السلم، وطول القاعدة هو الخط الممتد من قاعدة السلم إلى النافذة، وارتفاعه هو ارتفاع النافذة. باستخدام قانون جيب الزاوية: جا الزاوية = الضلع المقابل / الوتر، نجد:
  • جا (60) = ارتفاع النافذة / 6، وبالتالي ارتفاع النافذة = 5.2م.

حساب ارتفاع المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس

المثال السابع: إذا كان طول الوتر في المثلث القائم 5 سم وطول إحدى الساقين 3 سم، احسب ارتفاع المثلث القائم.

الحل:

• التعويض في المعادلة: ارتفاع المثلث = (طول الساق الأولى × طول الساق الثانية) / الوتر، وبالتالي: ارتفاع المثلث = 3 × (طول الساق الثانية) / 5.
• لحساب طول الساق الثانية، نستخدم نظرية فيثاغورس: 5² = 3² + (مربع الساق الثانية) ومنه، الساق الثانية = 4 سم.
• التعويض في المعادلة: ارتفاع المثلث = (3 × 4) / 5 = 3.75 سم.

المثال الثامن: إذا كان ارتفاع مثلث قائم أقل بـ 7 سم من طول قاعدته وكان طول وتره 13 سم، احسب ارتفاعه.

الحل:

• لنعتبر الارتفاع هو س وطول القاعدة هو (س + 7).
• بالتعويض في معادلة فيثاغورس: 13² = س² + (س + 7)²، نحصل على: 169 = س² + (س² + 14س + 49) ومن ثم 2س² + 14س – 120 = 0.
• بعد حل المعادلة نحصل على: س = 5 سم، وهي قيمة الارتفاع.

يمكن اعتبار ارتفاع المثلث القائم كأحد ضلعيه اللذين يشكلان الزاوية القائمة أو كعمود ينزل من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر. يمكن حساب ارتفاع المثلث القائم الزاوية باستخدام مساحته وأحد ضلعيه أو بمعرفة إحدى زواياه وتطبيق قوانين النسب المثلثية، أو باستخدام نظرية فيثاغورس.