يُعَد تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات أحد المواضيع التي تغري الطلاب من مختلف المستويات الدراسية، حيث يُعتبر الفرق بين مربعين، والمعروف أيضاً بالفرق بين مربعي حدين، شكلاً من أشكال المعادلات التربيعية من الدرجة الثانية، والذي يُمثل العملية الرياضية لمربع الحد الأول بعد طرح مربع الحد الثاني.
تعريف الفرق بين مربعين
- قبل أن نتناول كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع تقديم أمثلة، نحتاج أولاً إلى توضيح مفهوم الفرق بين مربعين. يُعتبر هذا المفهوم جزءاً أساسياً من علم الجبر ويوجد ضمن معادلات الدرجة الثانية.
- كما أن هذا القانون يُعتَبَر واحداً من أبرز القوانين الرياضية وأكثرها استخداماً في مختلف العلوم والمراحل التعليمية.
- العالم الخوارزمي هو أول من اكتشف معادلات الدرجة الثانية التي تتضمن الفرق بين مربعين. يتطلب حل هذه المعادلات استخدام تقنية مختارة، وأحد الأساليب الأساسية هو تحليل الفرق بين مربعين الذي يُعبر عن المنتج بين الفرق ومجموع هذين الحدين.
- يمكن التعبير عن الفرق بين مربعين على النحو التالي: (الحد الأول – الحد الثاني) × (الحد الأول + الحد الثاني)، وتسمى هذه التعبير بالمربعين نسبةً إلى الشكل الهندسي للمربع.
- حيث يُعتبر الحد الأول بمثابة طول ضلع المربع الأول، والحد الثاني يمثل طول ضلع المربع الثاني، والفرق بين مربعين يُمكن تمثيله كفرق بين مناطق هذين المربعين.
إليكم ما يلي:
كيفية تحليل الفرق بين مربعين بالعبرات والأمثلة
1- كيفية التأكد من أن المقدار الجبري هو فرق بين مربعين
- قبل تقديم أسلوب تحليل الفرق بين مربعين، يجب أولاً التأكد من أن المقدار الجبري أو المعادلة تتبع الشكل العام لقانون الفرق بين مربعي حدين.
- يتم ذلك من خلال التأكد من أن المعادلة تحتوي على حدين فقط وأن كليهما يمثلان مربعين كاملين، وفي حالة عدم كونهما كذلك، يجب محاولة إيجاد عامل مشترك بينهما إن أمكن.
- من الضروري أيضاً ملاحظة إشارة كلٍّ من الحدين، حيث يجب أن يكون الحد الأول موجبًا والحد الثاني سالباً، بالإضافة إلى أن الأس لكل حد يجب أن يكون موجبًا ويعادل العدد اثنين أو مضاعفاته.
2- أسلوب تحليل الفرق بين مربعين
- بعد أن فهمنا مفهوم الفرق بين مربعين وطريقة التحقق من هيكله العام، ننتقل الآن إلى كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة موضحة. عملية التحليل بسيطة وسهلة الفهم من قبل الطلاب من خلال الخطوات التالية.
- نبدأ بالبحث عن العامل المشترك الأكبر بين الحدين، وإذا وُجد، نقوم بإخراجه خارج القوس مع التأكد من إعادة ضربه في كافة العوامل في نهاية عملية التحليل.
- بعد ذلك، نحدد الجذرين التربيعيين لكل حد. الجذر التربيعي هو العملية المعاكسة لمفهوم مربع الحد، حيث يمثل مربع الحد ناتج ضرب العدد في نفسه، بينما يعني الجذر التربيعي إيجاد العدد الذي ضربناه في نفسه للحصول على النتيجة.
- على سبيل المثال، مربع العدد 3 هو 9، ونعبر عنه كمربع الثلاثة، ولإيجاد الجذر التربيعي للعدد 9، نبحث عن العدد الذي تم ضربه في نفسه ليعطينا 9، والذي هو 3.
- بعد إجراء العمليات السابقة، نسعى لجعل الشكل العام للمقدار الجبري أو المعادلة التي نرغب في تحليلها تتوافق مع صيغة الفرق بين مربعين، وهي (س² – ع²).
- ثم نفتح أقواس صغيرة؛ حيث نكتب في القوسين الأولين مجموع الجذور التربيعية للحدين، وفي الثاني فرق الجذور، ونضع إشارة الضرب بين القوسين.
- وبذلك تصبح صيغة تحليل الفرق بين مربعين بالرموز كالتالي: (س² – ع²) = (س – ع) × (س + ع)، بينما تعبر الصيغة الجبرية العامة عن ذلك بشكل: (المربع الكامل للحد الأول – المربع الكامل للحد الثاني) = (الحد الأول – الحد الثاني) مضروبًا في (الحد الأول + الحد الثاني).
تعرفوا على المزيد:
3- أمثلة توضيحية على تحليل الفرق بين مربعين
يتزايد اهتمام الطلاب بكيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع تقديم أمثلة تساهم في تعزيز فهمهم للمفهوم وترسيخه، حيث تُمثل الأمثلة المحلولة الجانب العملي الذي يجسد المفاهيم النظرية ويربطها بالواقع، فإليكم بعض الأمثلة.
المثال الأول
- عند السؤال عن تحليل المقدار 9س² – 4 إلى عاملين رئيسيين، نلاحظ أن الحد الأول 9س² يمثل مربعاً كاملاً حيث أن الجذر التربيعي له هو 3س، بينما الحد الثاني 4 يمثل مربعاً كاملاً أيضاً، وجذره التربيعي هو 2.
- لذا، عند تطبيق القاعدة التي ذكرناها، نحصل على ناتج التعبير: (3س – 2) × (3س + 2).
المثال الثاني
- إذا تم طلب تحليل كثير الحدود 3س² – 27، نجد أن هناك عاملاً مشتركًا أكبر، وهو الرقم 3، لذا نبدأ بإخراجه من المقدار الجبري.
- بعد إظهار العامل المشترك، يصبح الشكل 3(س² – 9)، وبهذه الصورة يمكن تحليل الفرق بين مربعين لأنه يتوافق مع الصيغة المطلوبة، ثم نستعيد الرقم 3 لنقوم بضربه في جميع العوامل الناتجة.
- هنا، الحد الجبري الأول يمثل مربعاً كاملاً حيث الجذر هو س، والحد الثاني يمثل مربعًا كاملًا حيث الجذر هو 3، ويتحول تحليل كثير الحدود إلى: 3(س-3) × (س+3).
المثال الثالث
- عند سعي الطلاب لفهم كيفية تحليل الفرق بين مربعين، غالباً ما يبحثون عن حلول للتمارين الأكثر تحدياً. عندما يكون المقدار الجبري على صورة س² – 4، فإننا نلاحظ مطابقته بشكل كامل لقانون الفرق بين مربعين.
- نعكس الحدين ليصبح الشكل س² – 4، مما يتيح لنا استخدام قانون التحليل في هذه الحالة، حيث يمثل الحد الأول س² وجذره س، والحد الثاني 4 وجذره 2، فتكون نتيجة التحليل كما يلي: (س – 2) × (س + 2).
ننصحكم بزيارة المقال:
