الأعداد الزوجية والأعداد الفردية: الفرق بينهما وأمثلة توضيحية

مقدمة عن الأعداد الزوجية والفردية

تنقسم الأعداد الصحيحة (بالإنجليزية: Integer numbers) إلى فئتين رئيسيتين: الأعداد الزوجية (بالإنجليزية: Even Numbers)، وهي الأعداد التي يمكن قسمتها على (2) دون أن يتبقى منها شيء، والأعداد الفردية (بالإنجليزية: Odd Numbers)، التي لا تقبل القسمة على (2) دون أن يتبقى منها باقي، حيث يكون باقي قسمتها هو العدد (1).

من الأمثلة على الأعداد الزوجية: (2، 8، 16) والأعداد الفردية: (1، 9، 15). يجب أن يكون كل عدد صحيح إما فردياً أو زوجياً، ولا يمكن أن يكون العدد الواحد ينتمي إلى الفئتين معًا في نفس الوقت. كما لا يمكن تصنيف الكسور كأعداد زوجية أو فردية، حيث تُعتبر أجزاءً من الأعداد الأصلية، وليست أعداداً كاملة، ويمكن كتابتها بصيغ متعددة.

خصائص الأعداد الزوجية والفردية

تمتاز الأعداد الزوجية والفردية بمجموعة من الخصائص التي تشمل:

• يعتبر الرقم صفر عددًا زوجيًا، حيث إن العدد الذي يسبق أو يتبع العدد الفردي هو عدد زوجي، وبما أن صفر يسبق العدد واحد (1) وهو عدد فردي، فإنه يعد عددًا زوجيًا.
• جميع الأعداد الزوجية والفردية تعتبر مجموعات غير منتهية، حيث لا يمكن تحديد العدد الأخير فيها، مثل: (2، 4، 6، 8، 10، … إلخ) للأعداد الزوجية و(3، 5، 7، 9، 11، 13، … إلخ) للأعداد الفردية.
• تتبدل الأعداد الزوجية والفردية بشكل دوري، فمثلاً في التسلسل 1، 2، 3، 4 نجد أن: 1: فردي، 2: زوجي، 3: فردي، 4: زوجي، وهكذا إلى ما لا نهاية.
• الأعداد التي تنتهي بأحد الأرقام (1، 3، 5، 7، 9) تعتبر فردية، بينما الأعداد التي تنتهي بأحد الأرقام (0، 2، 4، 6، 8) تُعد زوجية.
• يمكن توزيع الأعداد الزوجية بشكل متساوٍ على مجموعتين، بينما عند توزيع عدد فردي على مجموعتين، فإن الباقي دائمًا سيكون العدد (1).
• يمكن تمثيل العدد الزوجي بصيغة 2 × ك، في حين يُشار إلى العدد الفردي على أنه 2 × ك + 1 حيث ك هو عدد صحيح.

العمليات الحسابية على الأعداد الزوجية والفردية

الجمع والطرح

تتميز عمليات الجمع والطرح للأعداد الزوجية والفردية بما يلي:

• عند جمع أو طرح عددين زوجيين، فإن الناتج سيكون عددًا زوجيًا دائمًا، على سبيل المثال: 4 + 2 = 6 (عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي).
• عند جمع أو طرح عدد زوجي مع عدد فردي، يكون الناتج عددًا فرديًا، كما في 6 + 3 = 9 (عدد زوجي + عدد فردي = عدد فردي).
• عند جمع أو طرح عددين فرديين، يصبح الناتج عددًا زوجيًا، مثل 3 + 5 = 8 (عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي).

الضرب

من خصائص عملية الضرب للأعداد الزوجية والفردية ما يلي:

• حاصل ضرب عددين زوجيين معًا ينتج عددًا زوجيًا، مثل: 4 × 8 = 32 (عدد زوجي × عدد زوجي = عدد زوجي).
• حاصل ضرب عدد زوجي في عدد فردي يؤدي إلى عدد زوجي، كما في 4 × 7 = 28 (عدد زوجي × عدد فردي = عدد زوجي).
• بينما حاصل ضرب عددين فرديين معًا يكون عددًا فرديًا، مثال: 5 × 7 = 35 (عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي).

القسمة

تتسم عملية القسمة للأعداد الزوجية والفردية بعدة ميزات، تشمل:

• حاصل قسمة عددين فرديين على بعضهما قد يكون عددًا فرديًا أو عددًا كسريًا، مثل: 3 / 1 = 3، أو 9 / 7 = 1.28 (عدد فردي ÷ عدد فردي = عدد فردي أو عدد كسري).
• حاصل قسمة عددين زوجيين معًا يمكن أن ينتج عنه عدد زوجي، فردي، أو عدد كسري، على سبيل المثال: 8 / 2 = 4، أو 12 / 4 = 3، أو 2 / 4 = 0.5 (عدد زوجي ÷ عدد زوجي = عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري).
• حاصل قسمة عدد فردي على عدد زوجي دائمًا ينتج عنه عدد كسري، كما في 9 / 4 = 2.25 (عدد فردي ÷ عدد زوجي = عدد كسري).
• بينما قسمة عدد زوجي على عدد فردي قد تؤدي إلى عدد زوجي أو عدد كسري، مثال: 12 / 3 = 4، أو 12 / 7 = 1.71 (عدد زوجي ÷ عدد فردي = عدد زوجي أو عدد كسري).

أمثلة توضيحية حول الأعداد الزوجية والفردية

لنقم بتصنيف الأعداد التالية إلى أعداد زوجية وأعداد فردية: 20، 112، 67، 111، 999، 446.

• الحل: بناءً على منزلة الآحاد لهذه الأعداد:
  • الأعداد 20، 112، 446 هي أعداد زوجية لأنها تنتهي بالأرقام (0، 2، 4) على التوالي.
  • بينما الأعداد 67، 111، 999 هي أعداد فردية لأنها تنتهي بالأرقام (7، 1، 9) على التوالي.

مثال آخر: تحقق مما إذا كانت نتيجة: (47630750675 + 453407032) × 549068453 هي زوجية أم فردية.

• الحل: العدد (47630750675) فردي، العدد (453407032) زوجي، وناتج جمع عدد فردي + عدد زوجي يكون عددًا فرديًا.
• ناتج جمع (47630750675 + 453407032) فردي، والعدد (549068453) فردي، ونتيجة فردي × فردي هي عدد فردي.

المثال الثالث: حدد إذا كانت نتيجة أ2 + أ زوجي أم فردي، علمًا بأن أ عدد زوجي.

• الحل: ناتج أ2 هو عدد زوجي، إذًا العدد الزوجي × العدد الزوجي = عدد زوجي.
• وفي النتيجة أ2 + أ هو عدد زوجي، حيث: عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي.

المثال الرابع: تحقق مما إذا كانت نتيجة 160 × 7 هي زوجية أم فردية.

• الحل:
• العدد 160 هو عدد زوجي لأنه ينتهي بالرقم صفر.
• العدد 7 هو عدد فردي حيث ينتهي بالعدد سبعة.
• ناتج 160 × 7 هو عدد زوجي لأن: عدد فردي × عدد زوجي = عدد زوجي.

المثال الخامس: حدد إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة التالية:

81 ÷ س = 9

الحل:

• وفقًا لخواص القسمة: عدد فردي ÷ عدد فردي = عدد فردي أو عدد كسري.
• وبالتالي، فإن قيمة س هي عدد فردي، وهو العدد 9.

المثال السادس: حدد إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة:

س × 3 = 21

الحل:

• وفقًا لخواص الضرب: عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي.
• وبالتالي، فإن س عدد فردي وهو العدد 7.

المثال السابع: تحقق إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة:

8 + 1 = س

الحل:

• بناءً على خصائص الجمع: عدد زوجي + عدد فردي = عدد فردي.
• إذًا قيمة س هي عدد فردي وهو 9.

المثال الثامن: حدد إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة:

99 – س = 20

الحل:

• استنادًا إلى خاصية الطرح: عدد فردي – عدد فردي = عدد فردي.
• وبالتالي، فإن قيمة س هي عدد فردي وهو 79.

المثال التاسع: تحقق إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة:

46 + س = 52

الحل:

• وفقًا لخاصية الجمع: عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي.
• لذا، فإن قيمة س هي عدد زوجي، وهو 6.

هل الصفر يعتبر عددًا زوجيًا أم فرديًا؟

يعتبر العدد صفر عددًا زوجيًا، لأنه يمكن قسمة الأعداد الزوجية على 2. عند قسمة أي عدد على 2 ويعطي الناتج عددًا صحيحًا، يندرج هذا العدد كعدد زوجي. وعند قسمة 0 على 2 يكون الناتج 0، وهو عدد صحيح، لذا فإنه يعد عددًا زوجيًا.

فيديو توضيحي لمجموعات الأعداد

لمزيد من المعلومات، تابع الفيديو التالي: