الأعداد المركبة أو العقدية
تعرف الأعداد المركبة بأنها مجموعة من عدد حقيقي وعدد تخيلي، ويتم التعبير عنها بالشكل القياسي a+bi، حيث يمثل a الجزء الحقيقي و bi الجزء التخيلي. تميز الأعداد التخييلية عن الأعداد الحقيقية من خلال عملية تربيعها؛ إذ تربيع العدد الحقيقي ينتج عددًا موجبًا، بينما تربيع العدد التخيلي ينتج عددًا حقيقيًا سالبًا. يمكن أيضًا إجراء العديد من العمليات الحسابية على الأعداد المركبة، وذلك يشمل الجمع، الطرح، والضرب.
تصنيف الأعداد المركبة
يمكننا أن نستنتج أن العدد المركب هو عدد حقيقي، كما أن العدد الحقيقي يعد أيضًا عددًا مركباً إذا تحقق الشرط التالي:
- يعد الرقم التخيلي عددًا مركبًا إذا كانت a=0 في المعادلة a+bi.
- يُعتبر الرقم الحقيقي عددًا مركبًا إذا كانت b=0 في المعادلة a+bi.
أهمية الأعداد المركبة في حياتنا
الأعداد المركبة تلعب دورًا هامًا في العديد من المجالات التطبيقية، ومن أبرز هذه المجالات:
- الهندسة الكهربائية.
- ميكانيكا الكم.
- حل المعادلات متعددة الحدود.
- الأبحاث العلمية.
- معالجة الإشارات الكهرومغناطيسية.
- ديناميكيات السوائل.
- تحليل الاهتزازات.
تمثيل الأعداد المركبة بيانياً
يمكن تمثيل الأعداد المركبة بيانياً من خلال افتراض قيم محددة للمتغير وتعويضها في المعادلة، مما يسفر عن أزواج مرتبة يمكن تمثيلها كنقاط على المستوى الإقليدي أو ما يعرف بمستوى أرجاند، نسبةً إلى العالم جان روبرت أرجاند، ويتكون هذا المستوى من محورين: محور x ومحور y.
خصائص الأعداد المركبة
تتضمن الخصائص التالية بعض الصفات الخاصة بالأعداد المركبة، والتي تعزز فهمها وتسهيل إجراء العمليات الحسابية عليها:
الأعداد المركبة المتوافقة
تُبنى الأعداد المركبة المتوافقة من خلال الاحتفاظ بنفس الجزء الحقيقي للعدد المركب وتغيير الجزء التخيلي إلى نظيره المعكوس الجمعي؛ فإذا كان مجموع وحاصل ضرب عددين مركبين ينتج عددين حقيقيين، فإنهما يُعرفان بالأعداد المركبة المترافقة.
مقلوب الأعداد المركبة
مقلوب الأعداد المركبة يُستخدم عند القسمة، حيث تعادل قسمة عدد مركب على آخر حاصل ضرب العدد الأول في المقلوب للعدد الثاني.
مساواة الأعداد المركبة
تشبه مساواة الأعداد المركبة طريقة مساواة الأعداد الحقيقية.
ترتيب الأعداد المركبة
لا يمكن ترتيب الأعداد المركبة، نظرًا لعدم وجود هيكلٍ محدد للأعداد المرتبة.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة
تتيح الأعداد المركبة إجراء مجموعة متنوعة من العمليات الحسابية، بما في ذلك الجمع، الطرح، الضرب، والقسمة. وفيما يلي أهم العمليات:
جمع الأعداد المركبة
عملية الجمع في الأعداد المركبة تشبه تلك في الأعداد الطبيعية، حيث يتم إضافة الجزء الحقيقي إلى الجزء الحقيقي، والجزء التخيلي إلى الجزء التخيلي. وتلتزم عملية الجمع بالأعداد المركبة بالقوانين التالية:
- قانون الإغلاق، الذي ينص على أن مجموع عددين مركبين هو دائمًا عدد مركب.
- القانون التبادلي.
- قانون التجميع.
- المعكوس الجمعي.
طرح الأعداد المركبة
يتم تنفيذ عملية الطرح بشكل منفصل على الأجزاء الحقيقية والتخييلية، حيث تُطرح الأجزاء بشكل مستقل.
ضرب الأعداد المركبة
يتمثل ضرب الأعداد المركبة في ضرب القيم المطلقة لكل عدد، ثم يتم جمع الناتج ليكون حاصل الضرب النهائي.
قسمة الأعداد المركبة
تتطلب قسمة الأعداد المركبة استخدام مقلوب العدد المركب الثاني.
المتطابقات الجبرية للأعداد المركبة
تساهم المتطابقات الجبرية في تسهيل عمليات الجمع والطرح بالنسبة للأعداد المركبة، خصوصًا عند وجود الأس 2 أو 3.
الأعداد في علم الجبر
يساهم علم الجبر بمجموعة واسعة من الأعداد التي تستخدم في حل المسائل المختلفة، ومن أنواع الأعداد المرتبطة به:
- الأعداد الحقيقية؛ وهي تشمل جميع الأعداد، سواء كانت كسور أو أعداد صحيحة أو عشرية.
- الأعداد الطبيعية؛ وهي الأعداد الصحيحة الإيجابية التي تُعرف بأنها أكبر من الصفر ولا تتضمن الكسور، مثل 1، 2، 3، 4، وهكذا.
- الأعداد الصحيحة؛ وتجمع الأعداد الطبيعية مع الصفر.
- الأعداد المنطقية؛ وتعني الأعداد العشرية أو الأعداد التي تعيد تشكيل نمطها.
- الأعداد غير المنطقية؛ وهي الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها بصورة كسرية، وتُعتبر أعدادًا حقيقية غير نسبية.
