تعتبر حل المعادلات والمتباينات الأسية من الأسس الجوهرية في علم الجبر، والتي تُعد جزءًا أساسيًا من مادة الرياضيات.
تتضمن المعادلات والمتباينات الأسية علاقات رياضية تتطلب فهماً عميقًا لقوانين الدالة الأسية. في هذا المقال، سوف نتناول حل المعادلات والمتباينات الأسية بكل تفاصيلها، بالإضافة إلى تبسيط مفهوم المتباينات الأسية وشرح طرق حلها.
استعراض شامل لحل المعادلات والمتباينات الأسية
- إن حل المعادلات والمتباينات الأسية ينقسم إلى قسمين رئيسيين: حل المتباينات وحل المعادلات. وتختلف المتباينات عن المعادلات من حيث الإشارات الرياضية المستخدمة بين طرفي العلاقة. لذلك، من الضروري الانتباه إلى القوانين والمبادئ المتعلقة بكل منهما وتركيز الانتباه على جميع العناصر في طرفي العلاقة.
- كما أن حل المعادلات والمتباينات الأسية يساهم في تطوير العلوم والمجتمعات، حيث تُعتبر الأدوات الأساسية التي تساعدنا في فهم الرياضيات بشكل أوسع، مما يعزز قدرتنا على التعامل مع قاعدة كبيرة من المعادلات والمفاهيم.
- منذ العصور الأولى، أسهم علم الرياضيات في تطور البشرية، حيث يعتبر العلم المعني بدراسة القياس والحساب. وبهذا الصدد، نقدم في هذا المقال تفاصيل حول حل المعادلات والمتباينات الأسية.
تعريفات المعادلات والمتباينات
- قبل الخوض في شرح كيفية حل المعادلات والمتباينات الأسية، يجب علينا أولاً التمييز بين المعادلات والمتباينات:
- المعادلة، في علم الرياضيات، تُعرف بأنها علاقة تشير إلى تساوي بين طرفين رياضيين، تعتمد على الرموز الرياضية وعلامة التساوي (=). على سبيل المثال، تُعتبر المعادلة: س + 5 = 9 معادلة ذات مجهول واحد.
- أما المتباينة، فهي علاقة رياضية تربط بين طرفين باستخدام أحد الرموز التالية: (>، ≤، ≥، <). وبالتالي، تُصنف المتباينة على أنها تعبر عن اختلاف في قيمة عنصرين رياضيين، وتخدم في المقارنة بين طرفين، بينما تعبر المعادلة عن تساوي عنصريين.
يمكن تعريف المعادلة الأسية كحالة خاصة من المعادلات، حيث يمثل الأُس متغيرًا وليس ثابتًا. الشكل العام للمعادلة الأسية يمكن التعبير عنه كما يلي: أُس = ب ص، حيث:
- س، وص: تمثل الأُسس في المعادلة، والتي غالبًا ما تحتوي على المتغيرات التي من خلال إيجاد قيمها يتم حل المعادلة الأسية.
- عادةً ما تحتوي المعادلة الأسية على متغير واحد فقط.
- أ، ب: تمثل ثوابت، تعتبر الأساس في المعادلة الأسية.
أساليب حل المعادلات الأسية
معادلات أسيّة ذات أساس متساوي
:
تشير هذه المعادلات إلى تلك التي يتساوى فيها الأساس على طرفي علامة التساوي. مثال على هذه الحالة هي المعادلة 4س = 4 9. هنا، يتم اللجوء إلى القاعدة التي تفيد بأنه عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى أيضًا. إذًا، إذا كانت المعادلة على الصورة أُس = ب ص وكان أ=ب، فإن س=ص. لننظر إلى حل المعادلة الأسية التالية: 5 3 س = 5 7 س – 2.
- عند تساوي الأساسات، فإن الأسس تتساوى مباشرة؛ مما يتيح لنا أن نكتب: 3س = 7س – 2. بعد حل المعادلة بطريقة مشابهة للمعادلات الخطية بطرح (3س) من الطرفين، نجد أن: 2 = 4س، وبالتالي س = 1/2. يمكن التحقق من صحة الحل عن طريق تعويض قيمة س في طرفي المعادلة.
في بعض الأحيان، إذا كانت الأساسات مختلفة، يمكننا إعادة كتابة المعادلة الأسية لجعل الأساسات متساوية من خلال اختيار عامل مشترك. المثال أدناه يوضح ذلك.
- لنحلل المعادلة: 27 (4س + 1) = 9 (2س). من الملاحظ أن الأساسات تختلف، لكن يمكننا إدراك أن العددين 27 و9 لهما عامل مشترك، وهو 3، حيث أن: 27 = 3^3 و9 = 3^2.
- إذا قمنا بتعويض هذه القيم في المعادلة الأسية، نحصل على: (3^3)(4س + 1) = (3^2)(2س). من خلال توزيع الأسس نجد: 3^(12س + 3) = 3^(4س).
- مع تساوي الأساسات، يمكننا القول إن: 12س + 3 = 4س. بعد حل المعادلة الخطية، نحصل على أن: 8س = -3، وبالتالي س = -3/8.
استمر في المتابعة:
المعادلات الأُسيّة ذات الأساسات غير المتساوية
:
تشير هذه المعادلات إلى تلك التي تكون فيها الأساسات مختلفة، مما يجعل من الصعب إعادة كتابتها لتساوي الأساسات. فمثلاً، في المعادلة مثل 7س = 9، لا يمكن إعادة صياغتها لتحقيق تساوي الأساسات.
لذا، نحتاج إلى استخدام طرق جديدة لحلها، تتمثل في استخدام اللوغاريتمات على النحو التالي:
- في حال كانت المعادلة الأسية تأخذ الشكل: أُس = جـ، يمكن حلها باستخدام اللوغاريتم على كلا الطرفين كما يلي: لو أُس = لو جـ؛ حيث أ، جـ ثوابت، س متغير.
- استناداً إلى خصائص اللوغاريتمات، يصبح لدينا: لو أُس = س لو أ = لو جـ.
- من المهم أن نلاحظ أن أساس اللوغاريتم يمكن أن يكون رقم 10.
- أو العدد النيبيري هـ، مما يجعلنا نحصل على اللوغاريتم الطبيعي.
- وكي يصبح الأمر أوضح، سنقدم المثال الآتي:
مثال: حل المعادلة الأسية التالية: 4 (3 + س) = 25؟
- من الصعب إعادة كتابة المعادلة السابقة لتكون فيها الأساسات متساوية، وبالتالي نقوم بإدخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو 4(3+س) = لو 25. وطبقاً لخاصية: لو أُس = س لو أ، نجد أن: (س+3) لو 4 = لو 25.
- لنجعل المتغير س في طرف لوحده، وذلك من خلال قسمة الطرفين على لو4 لينتج: 3 + س = لو 25/ لو 4، وبعد طرح العدد 3 من الطرفين نجد أن: س = لو 25/ لو 4 – 3.
- مع استخدام الآلة الحاسبة، نجد أن: لو 25 = 1.3979 و لو 4 = 0.602. بعد تعويض هذه القيم، يمكننا حساب قيمة س كما يلي: س = 1.3979/0.602 – 3 = 2.322 – 3 = -0.678.
حل المعادلات الأسية التي تحتوي على أعداد صحيحة
:
- في بعض الأحيان، قد تحتوي المعادلة الأسية على أعداد صحيحة فردية.
- تكون مفصولة عن التعابير الأسية بإشارة طرح أو جمع.
- الطريقة في حل المعادلة تتطلب التأكد من أن التعابير الأسية تقع على طرف واحد، بينما الثوابت التي لا تحتوي على أسس تقع على الطرف الآخر، كما هو موضح في المثال أدناه.
مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 3(س – 5) – 2 = 79؟
- لحل المعادلة المذكورة، يجب أولاً طرح العدد 2 من كلا الطرفين مما ينتج: 3(س – 5) = 79 + 2، لنحصل على 3(س – 5) = 81.
- وبما أن العدد 81 يمكن كتابته كـ 3 × 3 × 3 × 3، أي 3^4،
- يمكننا حل المعادلة بتوحيد الأساس.
- وبذلك نحصل على: 3(س – 5) = 3^4، وعند تساوي الأساسات يصبح لدينا: س – 5 = 4، وبالتالي، س = 9.
ابق معنا:
أنواع المعادلات
بعد توضيح كيفية حل المعادلات والمتباينات الأسية، يجب الآن التعرف على أنواع المعادلات الجبرية.
تصنف المعادلات حسب عناصرها ومكوناتها إلى ما يلي:
- المعادلات الحدودية: هي معادلة تعبر عن تساوي بين متعددة حدود وأخرى.
- المعادلات الجبرية: علاقة مساواة تتضمن عنصرين جبريين مع وجود متغير على الأقل.
- المعادلات الخطية: تُعرف بأنها معادلة جبرية بسيطة، تُعتبر معادلة من الدرجة الأولى.
- المعادلات المتسامية: تحتوي على دالة متسامية مثل الدالة الأسية أو المثلثية.
- المعادلات التفاضلية: تربط أحد الدوال بمشتقاتها.
- المعادلات الديفونتية: سُميت نسبةً للعالم اليوناني ديوفنطس، وهي معادلة متعددة الحدود يتم حلها بأعداد صحيحة أو إثبات استحالة الحل.
- المعادلات الدالية: تتضمن المجاهيل كدوال بدلاً من أن تكون مجرد متغيرات.
- المعادلات التكاملية: تضم دالة غير معروفة بجانب علامة التكامل.
أنواع المتباينات
المتباينات مصنفة بين معقدة وبسيطة، ومنها ما يُعرف بالتفاوتات المشهورة في الرياضيات، مثل:
المتباينة المثلثية: تشير إلى أن طول أي ضلع في المثلث يجب أن يكون أقل من مجموع طولي الضلعين الآخرين، وأكبر من الفرق بينهما.
- عدم المساواة Cauchy-Schwarz، سُميت تيمناً باسم العالم الروسي شوارتز والفرنسي كوشي، ولها التطبيقات في علم المثلثات والقواعد الإقليدية.
- عدم المساواة في الوظائف للعالم الروسي أندري ماركوف.
- المتباينة برنولي السويسرية الخاصة بالدالة الأسية.
