ترتيب العمليات الحسابية يُعتبر أمرًا بالغ الأهمية، حيث يعكس الطريقة التي يجب أن تُنفذ بها العمليات المختلفة مثل القسمة، الضرب، الجمع، الطرح، الأقواس، والأس. تُعد هذه العمليات حجر الزاوية في الرياضيات، العلوم، التكنولوجيا، والعديد من لغات البرمجة.
ترتيب العمليات الحسابية
إن ترتيب العمليات وفقًا للأهمية هو كالتالي:
- فك الأقواس
- الأس واستخراج الجذر
- الضرب والقسمة
- الجمع والطرح
يشير هذا الترتيب إلى أنه عند التعامل مع تعبير يحتوي على أكثر من عملية، يتعين تطبيق العملية ذات الأولوية الأعلى أولاً.
كما تُتيح قوانين التبديلية والترابطية للجمع والضرب دمج المصطلحات وفق أي ترتيب، لكن عند التعامل مع عمليات مختلطة، ينبغي الالتزام بالترتيب القياسي للعمليات.
استبدال العمليات الحسابية
في بعض الحالات، يكون من المفيد استبدال القسمة بالضرب بالمقلوب (ما يسمى معكوس الضرب) والطرح بجمع المعكوس (المعكوس الجمعي).
على سبيل المثال، في الجبر الحاسوبي، يسهل ذلك التعامل مع عدد أقل من العمليات الثنائية، مما يجعل إجراء التبديلات أسهل.
عند تبسيط تعابير معقدة، يمكننا كتابة 3 ÷ 4 كـ 3 × 1/4، مما يعني أن قسمة 3 على 4 تعادل ضرب 3 في 1/4.
يمكن أيضًا التعبير عن “4 – 3” بأنها “(4-) + 3″، أي أن الفرق بين 3 و 4 يساوي مجموع 3 و 4-.
لذا يمكن اعتبار التعبير “7 + 3 – 1” عبارة عن مجموع “7 + (3-) + 1″، ويمكن جمع هذه القيم الثلاث بأي ترتيب، لتصل إلى الناتج 5.
أهمية استخدام الأقواس
عادة ما يُرفع رمز الجذر √ بواسطة شريط يُسمى vinculum فوق الجذر، مما يلغي الحاجة لوجود أقواس حول الجذر.
تُستخدم الأقواس أيضًا في الدوال لتجنب الالتباس، ويمكن إزالتها إذا كان المدخل متغيرًا رقميًا واحدًا أو ثابتًا، كما في حالة (sin (x.
يمكن كتابتها بشكل مبسط كـ sin x (بدون أقواس)، إذ توجد صياغات مختصرة أخرى تُستخدم أحيانًا عند وجود مدخل أحادي.
مثلاً، sin 3x يُفضل كتابته كـ sin (3x) بدلاً من sin (x)3، لكن تمثل sin x + y = sin (x) + y لأن x + y ليس تعبيرًا أحاديًا.
ومع ذلك، ينطوي ذلك على بعض الغموض، وقد لا يكون مفهومًا العام خارج السياقات المحددة. تتطلب بعض الآلات الحاسبة ولغات البرمجة وضع أقواس حول مدخلات الدوال، بينما البعض الآخر لا يتطلب ذلك.
يمكن استخدام رموز التجميع لتجاوز ترتيب العمليات العادية، حيث يمكن اعتبار الرموز المجمعة كتعبير واحد.
يمكن أيضًا إزالة رموز التجميع باستخدام قوانين التوزيع والترابط، أو إذا تم تبسيط التعبير داخل رمز التجميع بشكل كافٍ، بحيث لا يؤدي إزالته إلى أي غموض.
استراتيجيات تذكر العمليات الحسابية
يستخدم فن الاستذكار لمساعدة الطلاب في تذكر القواعد، بما في ذلك الحروف الأولى من الكلمات التي تمثل عمليات معينة، وقد تختلف هذه الأساليب من بلد لآخر.
ومع ذلك، قد تكون طرق الاستذكار هذه مضللة إذا تم تفسيرها بشكل خاطئ؛ مثل افتراض أن “الإضافة أولاً، ثم الطرح” تؤدي إلى تقييم خاطئ للتعبير.
عند تقييم التعبير، تُجرى عمليات الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين، نظرًا لأن الطرح يُعتبر عملية غير ارتباطية.
بالعمل من اليسار إلى اليمين أو معالجة الطرح كجمع رقم منه، يمكن الحصول على النتيجة الصحيحة.
تنظيم عملية الطرح بدون ترتيب صحيح قد يؤدي إلى إجابة خاطئة، ولا تعكس استراتيجيات الاستذكار جمع الطرح أو الضرب القسمة.
لذلك، يمكن أن تؤدي هذه الاستراتيجيات إلى سوء الفهم. يتجلى غموض مشابه عند استخدام القسمة التسلسلية، حيث يمكن قراءة التعبير “a ÷ b ÷ c × d” بطرق متعددة، وقد لا تصل دائمًا لنفس النتيجة.
عادةً ما يعتبر التقسيم تقليديًا ضمن الجمعيات اليسارية، بمعنى أنه إذا كان هناك عدة أقسام متعاقبة، يتحرك ترتيب الحساب من اليسار إلى اليمين.
علاوة على ذلك، تقلل العادة الرياضية المتمثلة في دمج العوامل وتمثيل القسمة كضرب بمقلوب من تكرار الانقسام الغامض.
حالة تسلسل الأس
عند الإشارة للأس بواسطة رموز متراكمة باستخدام الترميز المرتفع، فإن القاعدة تقضي بالعمل من الأعلى إلى الأسفل:
وهذا عادةً لا يعادل ab)c).
ومع ذلك، عند استخدام تدوين عامل التشغيل مع علامة الإقحام (^) أو السهم (↑)، لا يوجد معيار موحد.
على سبيل المثال، يقوم مايكروسوفت إكسيل ولغة البرمجة MATLAB بتقييم “a ^ b ^ c” كـ “ab) c) “.
بينما يقوم بحث جوجل وWolfram Alpha بتقييمه كـ “(a (bc “، لذا فإن 2 ^ 3 ^ 4 يتم تقييمه كـ 4,096 في الحالة الأولى، بينما يُقيم بـ 262,144 في الحالة الثانية.
علامة الطرح الأحادية
توجد اصطلاحات مختلفة تتعلق بالعوامل الأحادية، حيث تُقرأ عادةً على أنها “ناقص”. في الرياضيات المكتوبة أو المطبوعة، يتم تفسير التعبير “32–” على أنه يعني “(32) – 0 = 9- “.
في بعض التطبيقات ولغات البرمجة، وخاصة مايكروسوفت إكسيل وتطبيقات جداول البيانات الأخرى.
تتمتع المشغلين الأحاديين بأولوية أعلى من العوامل الثنائية، بمعنى أن السالب الأحادي له أسبقية أعلى من الأس.
لذلك في تلك اللغات يُعتبر “32–” كـ “2(3-) = 9 “، وهذا لا ينطبق على ثنائي ناقص عامل الناقص.
تابع أيضًا:
الخلط بين القسمة والضرب
يمكن أن يظهر الغموض أيضًا عند استخدام رمز الشرطة المائلة في تعابير مثل “1/2x”.
إذا أعاد شخص ما كتابة هذا التعبير كـ “1 على 2x” ثم قام بتفسير رمز القسمة على أنه يشير إلى الضرب بالمقلوب، سيصبح هذا:
بتلك الطريقة، فإن “1 على 2x” تعادل “(2 ÷ 1) مضروب في x “، لكن في بعض الأدبيات الأكاديمية.
يتم تفسير الضرب بالطرق الضمنية على أنه ذو أسبقية أعلى من القسمة.
كما تنص تعليمات تقديم المخطوطات لمجلات Physical Review على أن الضرب له أسبقية أعلى من القسمة باستخدام الشرطة المائلة.
وهذا هو أيضًا ما يُلاحظ في الكتب المدرسية للفيزياء البارزة، مثل Course of Theoretical Physics.
المؤلفان Landau وLifshitz ومحاضرات فاينمان في الفيزياء.
أمثلة على ترتيب العمليات الحسابية
بسّط المقدار: 5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16
الحل: يجب أن نتذكر أنه علينا تبسيط ما بداخل الأقواس قبل إجراء عملية التربيع، حيث أن 2(3 – 8) تختلف عن 32 – 82.
يمكن توضيح ذلك كالتالي:
5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16
وبذلك نجد أن 5 ÷ 2(5) 3 – 16 =
5 ÷ (25) 3 – 16 =
5 ÷ 75 – 16 =
وأخيرًا يعطينا 15 – 16 =
النتيجة هي 1.
وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 1.
بسّط المقدار: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4
الحل: سنقوم بتبسيط المقدار من الداخل إلى الخارج: أولاً، الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع التأكيد على تذكر أن علامة “الطرح”.
عند وجود 3 أمام الأقواس يتوافق مع الرقم 3. وبمجرد الانتهاء من تجميع الأجزاء، سنقوم بعملية القسمة، تتبعها المرحلة النهائية بجمع العدد 4.
ويمكن توضيح ذلك كما يلي:
2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4
2 ÷ [(3) 2 – 4] 3 – 4 =
2 ÷ [6 – 4] 3 – 4 =
2 ÷ [2-] 3 – 4 =
2 ÷ 6 + 4 =
3 + 4 =
إذن تكون القيمة المبسطة هي 7.
بسّط المقدار:
(1 – 4) + 5 / 2(2 + 1) + (2 – 3)
الحل: هذا يعمل على نحو مشابه للأمثلة السابقة؛ يجب عليك فقط أن تعامل البسط بشكل منفصل عن المقام، لتصل إلى جزء يمكنك (ربما) تبسيطه، ويمكن عرض ذلك كالتالي:
(1 – 4) + 5 / 2(2 + 1) + (2 – 3)
(3) + 5 / 2(3) + (1) =
8 / 9 + 1 =
8 / 10 =
4 / 5 =
وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 4 / 5.
