تعد دراسة المتتابعات والمتسلسلات الهندسية من الموضوعات الأساسية في مجالات الرياضيات، حيث يُمكِّن الفهم الجيد لهذه المواضيع من استنتاجات تعود بالنفع على العديد من العلوم الأخرى. وبالتالي، فإن الأدبيات المرتبطة بموضوع المتتابعات والمتسلسلات الهندسية تكتسب أهمية بالغة.
دراسة المتتابعات والمتسلسلات الهندسية
1- تعريف المتتابعة
- المتتابعة هي عبارة عن مجموعة مرتبة من الأعداد بحيث يرتبط كل عدد بالشكل الذي يسبق والعدد الذي يتبعها.
- تتميز المتتابعات بوجود نمط معين وتتابع خاص يحدد كيفية تصنيف كل عدد فيها.
- يُطلق على كل عدد في المتتابعة “حد”.
- تكون المتسلسلات عبارة عن مجموع حدود معينة، حيث توجد أنواع متعددة من المتتابعات، بما في ذلك المتتابعات التي تحتوي على حدود محددة أو عروض بدون حدود.
1- مثال على المتتابعات
- لنفترض أن لدينا صناديق مرتبة، وكل صندوق يحتوي على عدد من الكرات، حينها يعتبر ترتيب الصندوق هو رقم الحد، وعدد الكرات الموجودة داخله تعبر عن قيمة الحد.
- أو إذا تحدثنا عن قطار يتكون من عشرين عربة، تحتوي كل عربة على عدد من الركاب، فالعربات هي الحدود، وعدد الركاب هو قيمة الحد. على سبيل المثال: إذا كانت العربة رقم 15 تحتوي على 12 راكباً، فإن رقم 15 يمثل الحد وعدد الركاب 12 يمثل قيمة الحد.
- إذا افترضنا وجود مجموعة من الكرات، تحتوي كل كرة على حلوى، بحيث تكون مرصوصة بشكل معين، فإن كل كرة تعتبر حداً وتمثل الحلوى الموجودة بداخلها قيمة الحد.
2- تعريف المتتابعة الحسابية
- لإجراء دراسة شاملة حول المتتابعات والمتسلسلات الهندسية، يجب التعرف على المتتابعة الحسابية، سواء كانت محدودة أو غير محدودة.
- تتميز المتتابعة الحسابية بأنها تزداد بمعدل ثابت، مما يجعل الفرق بين أي حد متعاقب والحد السابق له ثابتًا.
- تُعتبر متتابعة حسابية إذا كان الفرق الثابت هو “r”، ويرمز لجميع قيم n في المتتابعة.
- الصيغة المستخدمة لإيجاد أي حد في المتتابعة الحسابية هي: الحد النوني = رقم الحد – 1 ثم يضاف إليه r، حيث يُعتبر الرقم الأول هو الرقم الابتدائي.
- للتحقق مما إذا كانت المتتابعة حسابية، يجب حساب الفرق بين الحدود باستخدام المعادلات (a2 – a1)، (a3 – a2)، (a4 – a3) وما إلى ذلك.
- إذا كان (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3)، فإن المتتابعة تكون حسابية.
- أما إذا كان (a2 – a1) ≠ (a3 – a2) ≠ (a4 – a3)، فإن المتتابعة تكون غير حسابية.
- تُعبر المتتابعات المنتهية على شكل D {1، 3، 2، 000، n} ← ح، والتي تنتهي عند N، في حين تُعبر المتتابعات غير المنتهية على شكل D: ط ← ح، حيث تمثل دالة مجال الأعداد الطبيعية ط.
- تعتبر المتتابعة الحسابية {حن} إذا وُجد عدد ثابت د لكل القيم النونية، حيث د = حن + 1 – حن، ويعبر د عن أساس المتتابعة.
3- مثال تطبيقي على المتتابعة الحسابية
- إذا كان مجموع ثلاثة حدود متتابعة في متتابعة حسابية يساوي وتعادل حاصل ضربها -42، فما هي الحدود الثلاثة؟
- الإجابة هي: { -3, 2, 7 }.
لا تفوت قراءة مقالنا حول:
4- ملاحظات على المتتابعة الحسابية
- يمثل الحد النوني في المتتابعة الحسابية التعبير: حن = أ + (ن – 1) د، حيث أ هو الحد الأول، بينما د هو أساس المتتابعة.
- تُعتبر الأوساط الحسابية بين العددين أ وب حدود المتتابعة، حيث أ هو الحد الأول وب هو الحد النهائي.
- مثال توضيحي حول الملاحظات: هل المتتابعة {حن} = {15, 11, 7, 3, 0} حسابية؟ الإجابة: نعم، هذه متتابعة حسابية لأن حن + 1 – حن = 4 لجميع القيم.
2- المتتابعات الهندسية
- قد تكون المتتابعات الهندسية أيضًا منتهية أو غير منتهية، وهي حاضرة في بحثنا هذا.
- تُعتبر المتتابعة هندسية إذا وُجد عدد ثابت يقسم أي حد لاحق على الحد السابق له، بحيث يتساوى هذا المقياس الثابت لجميع القيم n، مع اعتبار “r” كفرق ثابت يمثل أساس المتتابعة.
- تعتبر المتسلسلة هي مجموع الحدود المتتابعة، ويتم اعتبار الأوساط الحسابية بين الحدين.
- للعثور على قيمة أي حد في المتتابعة الهندسية، يُستخدم القانون: الحد – 1، والفرق الثابت.
- للتمييز بين المتتابعة الهندسية والحسابية أو غيرها، يمكن الاعتماد على النسب التالية: ( )، ( )، و ( ).
- مثال: إذا كانت ( ) = ( ) = ( )، فإن المتتابعة تعتبر هندسية.
- أما إذا كانت ( ) ≠ ( ) ≠ ( )، فإن المتتابعة تعد غير هندسية.
1- مثال توضيحي لتحديد إذا كانت المتتابعة هندسية أم لا
- نريد معرفة ما إذا كانت المتتابعة {3, 6, 12, 0000} هندسية أم لا؟
- الحل: المتتابعة تعمل بشكل صحيح وهي هندسية، حيث قيمة النسبة الثابتة تكون ( ) = ( ) = ( 2 ).
- مثال آخر: ابحث عن الحد العاشر في المتتابعة التالية { , -1 , 2 , 0000 }.
- الحل: هذه المتتابعة تعد هندسية، والحد الأول يساوي .
- وتمثل النسبة الثابتة (- 1 ÷ = – 2) وهي تشير إلى حد العاشر: ( ح 10 = × – 92 = × ( – 512 ) = 256).
يمكنك الاطلاع على التفاصيل من هنا:
2- ملاحظات على المتتابعات الهندسية
- يحدد الحد النوني للمتتابعة الهندسية معادلة: حن = أ رن – 1، بحيث أ هو الحد الأول، ور هو أساس المتتابعة.
- تُعتبر الأوساط الهندسية بين الأعداد أ وب حدود متتابعة، حيث أ يمثل الحد الأول وب يمثل الحد الأخير.
- إذا كانت الأعداد أ وب وج تشكل عناصر متتابعة هندسية، فإن ب يمثل الوسط الهندسي، حيث تساوي الأعداد أ/ب = ب/ج وتصبح ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي ل أ × ج.
3- تمارين على المتتابعات الهندسية
- حدد عدد الحدود المحصورة بين 13 و100 بحيث أن كل الحدود يقبل القسمة على 6؟ (ن = 14 حداً والحد الأخير = 96).
- الحل: تُعتبر هذه المتتابعة هندسية، حيث يُستخدم ر = حن + 1 ÷ حن لجميع القيم، ويمثل ر أساس المتتابعة.
- مثال: هل هذه المتتابعة التالية تعتبر هندسية أم لا 3, 6, 12, 00000؟
- الحل: تعتبر المتتابعة هندسية لأن حن + 1 ÷ حن = 2 لجميع القيم.
تطبيقات المتتابعات
- نظراً لأن المتتابعات تتبع نمطاً معيناً، فهي تُستخدم في العديد من العمليات الإنشائية، وتُعتبر ركيزة أساسية في البنايات الرياضية، بالإضافة إلى العديد من التطبيقات الرياضية الأخرى.
- تُستخدم المتتابعات بشكل شائع في تنظيم الديون المتبقية على الأفراد وحساب الأقساط، فضلاً عن التطبيقات المصرفية المتنوعة.
