ارتفاع المثلث ذي الساقين المتساويتين

كيفية حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين

يُعرف المثلث متساوي الساقين بأنه الشكل الهندسي الذي يحتوي على ضلعين متساويين في الطول، بينما تكون زوايا قاعدته متطابقة أيضًا. الارتفاع في المثلث متساوي الساقين، والذي يُسمى (Height) بالإنجليزية، هو الخط المستقيم الذي يتصل برأس المثلث وقاعدته، ويكون عموديًا على القاعدة. يمكن حساب ارتفاع هذا المثلث باستخدام مجموعة من القوانين الرياضية، مثل قانون مساحة المثلث، ونظرية فيثاغورس، وقانون هيرون. فيما يلي شرح لكيفية استخدام هذه القوانين.

باستخدام قانون مساحة المثلث

يمكن حساب ارتفاع المثلث إذا كانت مساحته وطول قاعدته معروفين، حيث تُعبر العلاقة عن ذلك كما يلي:

• مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع. وبإعادة ترتيب المعادلة نحصل على: ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة؛ وبالتالي، بالرموز نقول: ع = (2 × م) / ق؛ حيث:
  • ع: ارتفاع المثلث.
  • م: مساحة المثلث.
  • ق: قاعدة المثلث.

على سبيل المثال، إذا كان طول قاعدة مثلث متساوي الساقين 20 سم، ومساحته 120 سم²، فإن ارتفاعه يُحسب كما يلي:

• 120 = ½ × 20 × الارتفاع، وبحل المعادلة نجد أن الارتفاع = 12 سم.

باستخدام نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس مفيدة للمثلثات القائمة الزاوية، ويمكن استخدامها لمعرفة أطوال أضلاع المثلث متساوي الساقين إذا كان طول قاعدته وطول أحد ضلعيه المتساويين معروفين. للقيام بذلك، يمكن اتباع الخطوات التالية:

• إسقاط عمود من رأس المثلث متساوي الساقين على القاعدة ليتشكل مثلثان قائما الزاوية ومتطابقان.
• اعتبار أن طول أحد ساقي المثلث هو طول الوتر.
• اعتبار أن طول قاعدة مثلث القائم الزاوية هو نصف قاعدة المثلث متساوي الساقين.
  • تطبيق قانون نظرية فيثاغورس حيث: (الوتر)² = (نصف القاعدة)² + (الارتفاع)²، وبعد إعادة ترتيب المعادلة نحصل على: الارتفاع = الجذر التربيعي لـ (مربع طول الساق – مربع طول القاعدة / 4). وبالرموز: ع = (أ² – ب² / 4)√؛ حيث:
  • ع: ارتفاع المثلث.
  • أ: طول إحدى ساقي المثلث متساوي الساقين.
  • ب: طول القاعدة.

على سبيل المثال، إذا كان طول قاعدة مثلث متساوي الساقين 12 سم، وطول أحد ساقيه 20 سم، يتم التعويض بالقيم المعطاة لنحصل على:

• 20² = 6² + (الارتفاع)²، وبالتالي الارتفاع = 19 سم.
• أو يمكن استخدام الصيغة: ع = (أ² – ب² / 4)√، لنجد أن: ع = (20² – 12² / 4)√ = 19 سم.

باستخدام قانون هيرون

يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون متى ما كانت أطوال أضلاعه الثلاثة معروفة. بعد حساب قيمة المساحة، يمكن استخدامها في قانون مساحة المثلث للحصول على ارتفاعه. صيغة مساحة المثلث وفقًا لقانون هيرون هي: مساحة المثلث = (س(س – أ) × (س – ب) × (س – ج))√؛ حيث:

• س: قيمة منتصف محيط المثلث، وهي مجموع أطوال أضلاع المثلث مقسومًا على 2، وبالرموز: س = (أ + ب + ج / 2).
• أ: طول الضلع الأول.
• ب: طول الضلع الثاني.
• ج: طول الضلع الثالث.

لحساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين مع قاعدة طوله 12 سم وساقين طولهما 20 سم، يمكن التعويض في الصيغة فيكون الناتج كالتالي:

• س = (أ + ب + ج / 2) = (12 + 20 + 20) / 2 = 26 سم.
• مساحة المثلث = (س × (س – أ) × (س – ب) × (س – ج))√ = (26 × (26 – 12) × (26 – 20) × (26 – 20))√ = 114.5 سم².
• لحساب ارتفاع المثلث من خلال تعويض قيمة المساحة: ع = (2 × م) / ق = (2 × 114.5) / 12 = 19 سم.

أمثلة عملية على حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين

• مثال 1: إذا كان طول قاعدة مثلث متساوي الساقين 12 سم، ومساحته 42 سم²، احسب ارتفاعه.

الحل:

• باستخدام القانون: ع = (2 × م) / ق، يصبح: ع = (2 × 42) / 12 = 7 سم.

• مثال 2: إذا كان طول محيط مثلث متساوي الساقين 22 سم، وكان طول قاعدته يقل بمقدار 2 سم عن ضعفي طول أحد ساقيه، احسب ارتفاعه.

الحل:

• نفترض أن طول الساقين هو س، وطول القاعدة = 2س – 2. باستخدام القانون:
• محيط المثلث متساوي الساقين = 2 × طول إحدى الساقين + طول القاعدة، وبالتالي: 22 = 2س + 2س – 2، مُنتهيًا إلى: س = 6 سم؛ أي أن طول الساقين = 6 سم وطول القاعدة = 2س – 2 = 2(6) – 2 = 10 سم.
• وباستخدام قانون فيثاغورس، نحصل على: (الوتر أو طول أحد ساقي المثلث)² = (طول نصف القاعدة)² + (الارتفاع)²، 6² = 5² + (الارتفاع)²، ومن ثم الارتفاع = 3.32 سم.

• مثال 3: إذا كان طول محيط مثلث متساوي الساقين 32 سم، وكان طول قاعدته يقل بمقدار 18 سم عن ثلاثة أضعاف طول أحد ساقيه، احسب ارتفاعه.

الحل:

• نفترض أن طول الساقين= س، وطول القاعدة = 3س – 18.
• استخدام القانون: محيط المثلث = 2 × طول الساقين + طول القاعدة، نحصل على:
• 32 = 2س + 3س – 18، ومنه س = 10 سم؛ أي أن طول الساقين = 10 سم وطول القاعدة = 3س – 18 = 3(10) – 18 = 12 سم.
• حساب قيمة س لاستخدام صيغة هيرون حيث: س = (أ + ب + ج / 2)، س = (12 + 10 + 10) / 2 = 16، ثم تعويض القيم في قانون هيرون، ليصبح:
• مساحة المثلث = (س(س – أ) × (س – ب) × (س – ج))√ = (16(16 – 10) × (16 – 10) × (16 – 12))√ = 48 سم².
• حساب الارتفاع باستخدام القانون: ع = (2 × م) / ق، حيث تصبح: ع = (2 × 48) / 12 = 8 سم.

• مثال 4: إذا كان محيط مثلث متساوي الساقين 42 سم، وطول قاعدته يعادل 3/2 ضعف كل ساق من ساقيه، احسب ارتفاع هذا المثلث.

الحل:

• نفترض أن طول الساقين = س، وطول القاعدة = 3/2 س. باستخدام القانون:
• محيط المثلث = 2 × طول الساقين + طول القاعدة.
• 42 = 2س + 3/2 س، وبالتالي س = 12 سم؛ أي طول الساقين = 12 سم وطول القاعدة = 3/2 س = 18 سم.
• باستخدام قانون فيثاغورس: (الوتر)² = (طول نصف القاعدة)² + (الارتفاع)².
• 12² = 9² + (الارتفاع)²، ومن ثم الارتفاع = 7.93 سم.